（动态）边分治学习笔记

终于在刷了半个寒假的计数题后学习了（动态）边分治，写个博客记录一下。

然而做完两道题之后可能又不想管它了

以后再有练习的时候再更新吧。

用途

在\(O(n\log n)\)，\(O(n\log^2 n)\) 等复杂度内解决树上路径问题。

加了“动态”二字之后可以支持修改操作。

其实用途应该和点分治差不多。

实现

思路

类似于点分治，我们选出一条中心边，使两边的节点数尽可能平均，作为该层的中心。

之后我们遍历左右子树得到左右子树的信息，用某种方法合并，得到跨越中心边的答案。

最后递归左右子树，得到不过中心边的答案。

代码

先给个定义：

#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
#define v edge[i].t
struct hh{int t,nxt,w;}edge[sz<<1],e[sz<<1]; // e：原图；edge：重构后的图
int h[sz],head[sz],ec,ecnt=1;
void M_E_(int f,int t,int w) // 本来想写M_E，然而这是保留字……
{
	e[++ec]=(hh){t,h[f],w};
	h[f]=ec;
	e[++ec]=(hh){f,h[t],w};
	h[t]=ec;
}
void make_edge(int f,int t,int w)
{
	edge[++ecnt]=(hh){t,head[f],w};
	head[f]=ecnt;
	edge[++ecnt]=(hh){f,head[t],w};
	head[t]=ecnt;
}

首先，有些图（如菊花图）不适合边分治。我们需要加一些点和边，使在答案不变的前提下构造出一个更善良的图。

int cnt;
void rebuild(int x,int fa)
{
	int tmp=0;
	for (int i=h[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int v=e[i].t,w=e[i].w;
		if (v==fa) continue;
		if (!tmp) make_edge(x,v,w),tmp=x;
		else
		{
			int t=++cnt;
			make_edge(tmp,t,0);
			make_edge(t,v,w);
			tmp=t;
		}
		rebuild(v,x);
	}
}

然后是找中心边：

bool del[sz]; // 是否已经分治过
int ct,ctS,sum; // 中心边，最小size，总大小
int size[sz]; // 子树大小
void calcS(int x,int fa)
{
	size[x]=1;
	go(x) if (v!=fa&&!del[i>>1])
	{
		calcS(v,x);
		size[x]+=size[v];
	}
}
void findct(int x,int fa)
{
	go(x) if (v!=fa&&!del[i>>1])
	{
		findct(v,x);
		int S=max(size[v],sum-size[v]);
		if (chkmin(ctS,S)) ct=i;
	}
}

接着是遍历左右子树：

int dis[sz],s[sz];
void calcDis(int x,int fa,int d,int side)
{
    dis[x]=d;s[x]=side;
    go(x) if (!del[i>>1]&&v!=fa) calcDis(v,x,d+edge[i].w,side);
}

最后是分治：

int divide(int x)
{
	calcS(x,0);
	ct=-1;ctS=1e9;sum=size[x];
	findct(x,0);
	if (ct==-1) return ...;
	int l=edge[ct].t,r=edge[ct^1].t;
	del[ct>>1]=1;
	calcDis(l,0,0,0);calcDis(r,0,0,1);
    int ret=-1e9;
    //do something ......
	ret=max(ret,max(divide(l),divide(r)));
	return ret;
}

没了。

拓展

这东西是可以支持修改操作的。

对于每个原树中的点，记录它在哪些中心边的子树内，左子树还是右子树，它对这条中心边的贡献是什么。

对于每一条中心边，维护一些数据结构存储左右子树的信息。

修改一个点时就从下至上维护中心边的信息即可。

例题：洛谷P2056 [ZJOI2007]捉迷藏

例题

我做题少不敢瞎BB\(Q\omega Q\)

以后更新吧……