HDU 4834 JZP Set（数论+递推）（2014年百度之星程序设计大赛 - 初赛（第二轮））

Problem Description

一个{1, ..., n}的子集S被称为JZP集，当且仅当对于任意S中的两个数x,y，若(x+y)/2为整数，那么(x+y)/2也属于S。
例如，n=3，S={1,3}不是JZP集，因为(1+3)/2=2不属于S。但是{1,2,3}的其他子集都属于S，所以n=3时有7个JZP集
给定n，求JZP集的个数。

 

Input

第一行为T，表示输入数据组数。
每组数据包含一行整数n。

限制条件
1<=T<=10^5
1<=n<=10^7

 

Output

对第i组数据，输出
Case #i:
然后输出JZP集的个数。

 

题目大意：略。

思路：考虑到n高达10^7，而T也不小，选择递推预处理出所有答案。

观察(x+y)/2，对集合里的每个数都有这种规律的话，能想到类似的东西就是等差数列。

令ans[i]代表集合[1..i]的JZP子集（空集也算的），那么有ans[i] = ans[i - 1] + count(包含i的[1..i]的JZP子集)。

那么令p[i] = 包含i的[1..i]的JZP子集个数。考虑包含i的等差数列，可以发现等差一定为奇数（偶数都无法构成JZP集合，手动试一下就能发现了）。

首先p[i]有只包含一个数的{i}。

之后对于元素个数大于等于2的，等差为1的子集个数为(i-1)/1，等差为3的子集个数为(i-1)/3……

但是这还不能满足题目的要求。

考虑p[i]-1和p[i-1]-1的区别，对于(i-1)/1+(i-1)/3+(i-1)/5……和(i-2)/1+(i-2)/3+(i-2)/5……，对于分母为x的，(i-1) / x ＞ (i-2) / x当且仅当(i-1)是x的倍数

可以得出p[i]比p[i-1]要大count(i-1的奇数约数)。

对于每个数的约数个数，可以在O(nlogn)的时间里预处理出来（参考素数的筛法）。

然后递推ans[i] = ans[i - 1] + p[i]，至此题目完美解决！

 

代码（2109MS）：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int MAXN = 1e7 + 10;

int cnt[MAXN];
LL ans[MAXN];

void initc() {
    int n = 1e7;
    for(int i = 1; i <= n; i += 2) {
        for(int j = i; j <= n; j += i) cnt[j]++;
    }
}

void init() {
    initc();
    int n = 1e7;
    ans[1] = 2;
    LL t = 0;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        t += cnt[i - 1];
        ans[i] = ans[i - 1] + t + 1;
    }
}

int main() {
    init();
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    for(int t = 1; t <= T; ++t) {
        scanf("%d", &n);
        printf("Case #%d:\n", t);
        printf("%I64d\n", ans[n]);
    }
}