[学习笔记]带修改主席树
1、Dynamic Rankings
区间带修改的第 \(k\) 大需要用带修改主席树。
如果用平常的主席树的效率是多少呢？
查询 \(O(logn)\)，暴力修改 \(O(nlogn)\)，时间不支持
那么就需要平衡一下两者的时间复杂度
我们用树状数组套主席树，每次查询把 \(logn\) 个 \(rt\) 取出来，\(l-1\) 和 \(r\) 的 \(sum\) 相减一下，在值域进行 \(logn\) 的遍历，时间复杂度 \(O(nlog^2n)\)
int query(int l,int r,int k){
if(l == r) return l;
int x=0,mid=(l+r)>>1;
for(int i=1;i<=cnt1;i++) x-=sum[L[lT[i]]];
for(int i=1;i<=cnt2;i++) x+=sum[L[rT[i]]];
if(x >= k){
for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=L[lT[i]];
for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=L[rT[i]];
return query(l,mid,k);
}
else {
for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=R[lT[i]];
for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=R[rT[i]];
return query(mid+1,r,k-x);
}
}
每次修改在树状数组上，遍历到一个点就 \(update\)，动态开点
void update(int &now,int l,int r,int x,int v){
if(!now) now=++tot;
sum[now]+=v;
if(l == r) return ;
int mid=(l+r)>>1;
if(x <= mid) update(L[now],l,mid,x,v);
else update(R[now],mid+1,r,x,v);
}
void add(int x,int v){
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
update(T[i],1,n,a[x],v);
}
每次修改要新开一条链上 \(logn\) 个结点，一共执行 \(logn\) 次，空间复杂度 \(O(nlog^2n)\)
不难证明时间复杂度 \(O(nlog^2n)\)
\(Code\ Below:\)
#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
int n,m,a[maxn],mp[maxn<<1],cnt;
int T[maxn],lT[maxn],rT[maxn],L[maxn*400],R[maxn*400],sum[maxn*400],tot,cnt1,cnt2;
struct Query{
int opt,l,r,k;
}q[maxn];
inline int read(){
register int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return (f==1)?x:-x;
}
void update(int &now,int l,int r,int x,int v){
if(!now) now=++tot;
sum[now]+=v;
if(l == r) return ;
int mid=(l+r)>>1;
if(x <= mid) update(L[now],l,mid,x,v);
else update(R[now],mid+1,r,x,v);
}
void add(int x,int v){
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
update(T[i],1,cnt,a[x],v);
}
int query(int l,int r,int k){
if(l == r) return l;
int x=0,mid=(l+r)>>1;
for(int i=1;i<=cnt1;i++) x-=sum[L[lT[i]]];
for(int i=1;i<=cnt2;i++) x+=sum[L[rT[i]]];
if(x >= k){
for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=L[lT[i]];
for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=L[rT[i]];
return query(l,mid,k);
}
else {
for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=R[lT[i]];
for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=R[rT[i]];
return query(mid+1,r,k-x);
}
}
int main()
{
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) mp[++cnt]=a[i]=read();
char ch;
for(int i=1;i<=m;i++){
ch=getchar();
while(!isalpha(ch)) ch=getchar();
q[i].opt=(ch=='Q')?1:2;
if(q[i].opt==1) q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].k=read();
else q[i].l=read(),mp[++cnt]=q[i].k=read();
}
sort(mp+1,mp+cnt+1);
cnt=unique(mp+1,mp+cnt+1)-mp-1;
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(mp+1,mp+cnt+1,a[i])-mp,add(i,1);
for(int i=1;i<=m;i++){
if(q[i].opt==1){
cnt1=cnt2=0;
for(int j=q[i].l-1;j>0;j-=lowbit(j)) lT[++cnt1]=T[j];
for(int j=q[i].r;j>0;j-=lowbit(j)) rT[++cnt2]=T[j];
printf("%d\n",mp[query(1,cnt,q[i].k)]);
}
else {
q[i].k=lower_bound(mp+1,mp+cnt+1,q[i].k)-mp;
add(q[i].l,-1);a[q[i].l]=q[i].k;add(q[i].l,1);
}
}
return 0;
}
2、 [CQOI2011]动态逆序对
先用树状数组求一下总的逆序对
然后每次就减去当前在 \([1,pos[x]-1]\) 中大于 \(x\) 的数的个数和当前在 \([pos[x]+1,n]\) 中小于 \(x\) 的数
带修改主席树即可，时间复杂度 \(O(nlog^2n)\)，空间复杂度 \(O(nlog^2n)\)
\(Code\ Below:\)
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
int n,m,a[maxn],pos[maxn];ll ans;
int T[maxn],lT[maxn],rT[maxn],L[maxn*400],R[maxn*400],sum[maxn*400],tot,cnt1,cnt2;
inline int read(){
register int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return (f==1)?x:-x;
}
namespace unorder_pair{
struct Binary_Index_Tree{
int c[maxn];
void update(int x,int y){
for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=y;
}
int sum(int x){
int ans=0;
for(;x;x-=lowbit(x)) ans+=c[x];
return ans;
}
}T;
ll solve(){
ll ans=0;
for(int i=n;i>=1;i--){
ans+=T.sum(a[i]);
T.update(a[i],1);
}
return ans;
}
}
void update(int &now,int l,int r,int x,int v){
if(!now) now=++tot;
sum[now]+=v;
if(l == r) return ;
int mid=(l+r)>>1;
if(x <= mid) update(L[now],l,mid,x,v);
else update(R[now],mid+1,r,x,v);
}
void add(int x,int v){
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
update(T[i],1,n,a[x],v);
}
int query(int l,int r,int v,int sta){
if(l>r) return 0;
cnt1=cnt2=0;
for(int i=l-1;i>0;i-=lowbit(i)) lT[++cnt1]=T[i];
for(int i=r;i>0;i-=lowbit(i)) rT[++cnt2]=T[i];
l=1,r=n;int mid,ans=0;
while(l!=r){
mid=(l+r)>>1;
if(mid < v){
if(!sta){
for(int i=1;i<=cnt1;i++) ans-=sum[L[lT[i]]];
for(int i=1;i<=cnt2;i++) ans+=sum[L[rT[i]]];
}
for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=R[lT[i]];
for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=R[rT[i]];
l=mid+1;
}
else {
if(sta){
for(int i=1;i<=cnt1;i++) ans-=sum[R[lT[i]]];
for(int i=1;i<=cnt2;i++) ans+=sum[R[rT[i]]];
}
for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=L[lT[i]];
for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=L[rT[i]];
r=mid;
}
}
return ans;
}
int main()
{
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),pos[a[i]]=i;
ans=unorder_pair::solve();
for(int i=1;i<=n;i++) add(i,1);
int x;
for(int i=1;i<=m;i++){
x=read();
printf("%lld\n",ans);
ans-=(ll)query(1,pos[x]-1,x,1);
ans-=(ll)query(pos[x]+1,n,x,0);
add(pos[x],-1);
}
return 0;
}
