双六游戏 扩展欧几里得

/*
题目描述 :
一个双六上面有向前 向后无限延续的格子， 每个格子都写有整数。其中0号格子是起点，1号格子
是终点。而骰子上只有a,b,-a,-b四个整数，所以根据a和b的值的不同，有可能无法到达终点
掷出四个整数各多少次可以到达终点呢？如果解不唯一，输出任意一组即可。如果无解 输出-1

*/

问题就是求 ax+by = c的通解

证明一: 一定存在 x, y 使得 ax+by = kgcd(a, b) 

 设 a = gcd(a, b)*ra; b = gcd(a, b)*rb;

∵gcd(ra, rb) = 1

∴ax+by = (x*ra+y*rb)*gcd(a, b) = kgcd(a, b) ----->k = (x*ra+y*rb)

有∵ gcd(ra, rb) = 1 由贝祖定理 一定存在 x, y  (x*ra+y*rb = gcd(ra, rb) = 1)

http://baike.sogou.com/v73423552.htm?fromTitle=%E8%A3%B4%E8%9C%80%E5%AE%9A%E7%90%86  -->贝祖定理

 

所以题目中的c = 1

1、那么一定要 a 和b互质 才能得到1

2、ax+by = 1是一个不定方程 

对于求其中的一组特解  可以使用 扩展欧几里得

extgcd(int a, int b, int &x, int &y)

对于求 gcd(a, b) 那么由辗转相除法一定有 gcd(b, a%b)

第一层：ax1+by1     -->　　第二层：bx2+(a%b)y2 = gcd(b, a%b) = gcd(a, b).....x1, y1, x2, y2表示两层的x 和 y

两层的x 和 y有什么联系呢  -->通过a 和 b的变化联系

因为 a%b = a-(a/b)*b ---> 第二层：a*y2 + b*(x2-(a/b)*y2) = gcd --->对应第一层 a*x1 + b*y1 = gcd

所以有： x1 = y2,　　y1 = (x2-(a/b)*y2) ....得到了两层x, y的关系 可以由此递推

结束条件:

最终a = gcd, a%b = 0   --> ax+by = gcd --> x = 1 , y = 0

所以 if(b == 0) 

{　　x = 1; y = 0; return a; }

得到 一组特解 x, y

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans = extgcd(b, a%b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a/b*y;
    return ans;
}

补充求通解 

方程 ax+by = c ....①

已知特解ax0+by0 = c ...②

①-② -->a(x-x0) + b(y-y0) = 0

---> ra*gcd(a,b)*(x-x0) + rb*gcd(a,b)*(y-y0) = 0

--->ra*(x-x0) + rb*(y-y0) = 0

有ra*(x-x0) = rb*(y0-y)

又∵ gcd(ra, rb) = 1

∴ x-x0 = k*b/gcd(a, b) --> x = x0+k*b/gcd(a,b)

同理y = y0-k*a/gcd(a,b)

题目代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <algorithm>
#define READ() freopen("in.txt", "r", stdin);
#define MAXV 2007
#define MAXE 20007
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
//扩展欧几里得

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)//c++的引用代入 也可以用指针
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans = extgcd(b, a%b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a/b*y;
    return ans;
}
//更简洁的写法 书上的 直接将y传到x的位置 x传到y的位置然后y再-a/b*y
int Extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    int d = a;
    if (b != 0)
    {
        d = Extgcd(b, a%b, y, x);
        y -= a/b*x;
    }
    else
    {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    return d;
}

int main()
{
    READ()
    int a, b, x, y;
    int cnt[4] = {0};
    scanf("%d%d", &a, &b);
    if (extgcd(a, b, x, y) != 1)
    {
        cout << -1 << endl;
        return 0;
    }
    if (x > 0) cnt[0] = x;
    else if (x < 0) cnt[2] = -x;
    if (y > 0) cnt[1] = y;
    else if (y < 0) cnt[3] = -y;
    for (int i = 0; i < 4; i++) cout << cnt[i];
//    else cout << x << " " << y << endl;
    cout << endl;
    return 0;
}