通信系统——随机过程

每个样本点是一个时间的函数（叫样本函数），整个样本空间叫随机过程。

有些随机现象不能用一个或几个随机变量来刻画，要用一族无穷多个随机变量来描述，这就是随机过程。

随机过程研究的对象是随时间演变的随机现象，对事物的全过程的观察得到一个时间t的函数。但对同一个事物独立地重复进行多次观察所得的结果是不同的。

随机变量每一次试验的结果是一个数，而随机过程每一次实验的结果是一个函数。

平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的随机过程。

严平稳随机过程的有限维分布不随时间推移而发生改变。

用定义去证明随机过程的平稳性不好证，一般假设稳定的信号源会产生稳定的随机过程。一般随机过程会用X（t）来表示。

严平稳过程的一维分布函数与t无关，所以对于不同的t,它的期望是相同的，是一个常数。

若对任意的时间t所对应的随机变量的二阶矩存在，则称随机过程X（t）为二阶矩过程。

随机过程里自相关函数是用来测量同一个随机过程，两个不同时刻所对应的随机变量的相关程度。随机过程的自相关也叫做二阶矩。严平稳随机过程的自相关只和两个时间采样点的间隔有关。
两个随机过程是独立的，可由累积分布函数得到。

分析一般的随机过程时，只关心一阶矩和二阶矩，定义了广义（宽）平稳随机过程（WSS）。

广义平稳过程有两点要求：一是均值为常数，二是自相关函数只和时间采样点的时间间隔有关。

严平稳过程与宽平稳过程的关系，严平稳过程不一定是宽平稳，这是因为严平稳不要求一，二阶矩存在，但对二阶矩过程，严平稳必定是宽平稳。反过来，宽平稳不一定是严平稳。

对广义平稳，自相关函数关于时间间隔是偶函数。自相关函数的最大值在时延差为0的时候。

WSS的功率谱密度PSD与自相关函数是一对傅里叶变换对。

功率谱PSD的由来是当自相关函数的时间间隔tao为0的时候，随机过程的期望功率等于S(f)在无穷区间上的积分。

白噪声定义为0均值的广义平稳随机过程，且PSD在所有频率上都为常数。

白噪声随机过程的均值为0，PSD为常数，其中N0叫做单边白噪声功率谱密度，由于PSD为常数，由傅里叶关系得到自相关函数是一个在0处的冲激。可以看出白噪声是最随机的噪声。

一个WSS经过一个LTI滤波器，输出还是一个WSS，功率谱密度是频域响应模值的平方乘以PSD。

一个零均值，PSD为N0/2的白高斯噪声通过理想带通滤波器，中心频率fc，带宽是2B,会产生一个窄带过程。同相分量与正交分量的功率谱分别是N0.

随机过程的遍历性：如均值的遍历性：所有实现函数的时间平均值相等，而且等于该随机过程的均值。类似的有n阶矩的遍历性，自相关函数的遍历性。

当一个随机过程对所有阶的矩和自相关都是遍历的，那么这个随机过程是遍历的。

一个遍历过程一定是稳定的。但稳定的过程可能是遍历的，也可能不是遍历的。

噪声过程在通信系统里被模拟成高斯过程，由高斯过程可以得到高斯变量。

高斯随机过程进入一个LTI系统，输出还是一个高斯随机过程。

高斯随机过程有一些特殊的性质：高斯随机变量的不相关性等价于独立。高斯过程的线性积分为是一个高斯变量。高斯过程是广义平稳的，则它是平稳的。一个高斯过程完全由它的均值函数和协方差函数决定。一个高斯过程对于均值和自相关函数都是遍历的，那么这个高斯过程也是遍历的。

一般稳定的物理过程会产生稳态的随机过程。

稳态过程的一维分布是只有一个时间点，只有一个随机变量，所以稳态随机过程的一维分布和时间无关。稳态随机过程的二维分布只和观察的时间间隔有关。