【CodeForces】932 E. Team Work

【题目】E. Team Work

【题意】给定n和k，n个人中选择一个大小为x非空子集的代价是x^k，求所有非空子集的代价和%1e9+7。n<=10^9，k<=5000。

【算法】斯特林反演

【题解】枚举非空子集大小，则题目要求：

$$ans=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}i^k$$

对通常幂进行斯特林反演，得到：

$$ans=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix} k\\ j \end{Bmatrix}*i^{\underline{j}}$$

第二类斯特林数和i无关，因此提出来，从而尝试将下降幂和组合数搭配起来：

$$ans=\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix} k\\ j \end{Bmatrix}\sum_{i=1}^{n}\frac{n!}{(n-i)!(i-j)!}$$

如果(n-i)!(i-j)!是组合数的分母，那分子就是n-i+i-j=n-j，所以拆分$n!=(n-j)!*n^{\underline{j}}$，得到：

$$ans=\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix} k\\ j \end{Bmatrix}*n^{\underline{j}}\sum_{i=1}^{n}\binom{n-j}{n-i}$$

后面可以直接用组合数求和公式，得到：

$$ans=\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix} k\\ j \end{Bmatrix}*n^{\underline{j}}*2^{n-j}$$

然后O(k^2)预处理第二类斯特林数，然后O(k log k)得到答案。如果模数是998244353的话，还可以NTT求第二类斯特林数。

另外要注意快速幂的指数是负数时直接退出。

#include<cstdio>
int n,m,s[5010][5010],ans,x,M=1e9+7;
int p(int x,int k){if(k<0)return 0;int s=1;while(k){if(k&1)s=1ll*s*x%M;x=1ll*x*x%M;k>>=1;}return s;}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);s[1][1]=x=1;
    for(int i=2;i<=m;i++)for(int j=1;j<=m;j++)s[i][j]=(s[i-1][j-1]+1ll*s[i-1][j]*j)%M;
    for(int i=1;i<=m;i++)ans=(ans+1ll*s[m][i]*(x=1ll*x*(n-i+1)%M)%M*p(2,n-i))%M;
    printf("%d",ans);
}