【BZOJ】2440: [中山市选2011]完全平方数

【题意】T次询问第k小的非完全平方数倍数的数。T<=50，k<=10^9。（即无平方因子数——素因数指数皆为0或1的数）

【算法】数论（莫比乌斯函数）

【题解】考虑二分，转化为询问[1,x]中无平方因子数的个数（x最大为2n）。

运用容斥，答案ans=x - 1个素数的平方的倍数的数的个数 + 2个素数的乘积的平方的倍数的数的个数……

枚举i=[1,√x]的所有数字，系数是莫比乌斯函数，i的平方的倍数的数的个数就是n/(i^2)。

ans=x-Σμ(i)*n/(i^2)，i∈[1,√x]

复杂度O(T*√n)。

注意：二分上届为2n，l+r会爆int。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=50010;
int T,tot,n,miu[maxn],prime[maxn];
bool mark[maxn];
int main(){
    scanf("%d",&T);
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=50000;i++){
        if(!mark[i]){prime[++tot]=i;miu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=50000;j++){
            mark[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
            miu[i*prime[j]]=-miu[i];
        }
    }
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        long long l=0,r=2*n,mid,ans;//
        while(l<r){
            mid=(l+r)>>1;ans=0;int sq=(int)sqrt(mid);
            for(int i=1;i<=sq;i++){
                ans+=miu[i]*mid/i/i;
            }
            if(ans>=n)r=mid;else l=mid+1;
        }
        printf("%lld\n",l);
    }
    return 0;
}

 

定义集合x(素数)表示不是x^2的倍数的数字集合。

则要求集合并，容易知道集合交的补集。