【专题】数论

推荐：数论知识总结——史诗大作（这是一个flag）

【欧几里得算法】辗转相除法

1.被整除数的性质：若c|a,c|b，则c|(ma+nb)

整除数的性质：若a|c,b|c,gcd(a,b)=1，则ab|c。（否则lcm(a,b)|c）

2.gcd的定义

若c|a,c|b，则c为a和b的公因数。当c能被a和b的所有公因数整除时，c是a和b的最大公因数，记为gcd(a,b)。

若c|gcd(a,b)的充要条件是c|a&&c|b。

带余除法：a=bq+r，证明常用。

当gcd(a,b)=1时，称a和b互素。

最小公倍数lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)。

3.证明：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

a可以表示成a=k*b+r，其中r=a%b。

假设d|a,d|b，则r=a-k*b，r/d=a/d-k*b/d=m，m为整数，故d|r。

所以若d是a和b的公因数，则d也是b和a%b的公因数。

必要性同理易证。

4.辗转相除法：根据3递归，终止于gcd(a,0)=a。

更相减损术：gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。

感性理解：gcd(a,b)是组成a和b的基本单位，相减或相除都一定不会丢失，直到不能进行为止就是答案。

ll gcd(ll a,ll b)
{return b==0?a:gcd(b,a%b);}
ll lcm(ll a,ll b)
{return 1ll*a/gcd(a,b)*b;}

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另外，gcd可以O(n^2)批量预处理。

5.最大公因数gcd的相关推论

(1)转为互素：gcd(a,b)=d的充要条件是gcd(a/d,b/d)=1

数乘：若gcd(a,b)=d，则gcd(ka,kb)=kd。

(2)gcd乘法：gcd(a1,b2)*gcd(b1,b2)=gcd(a1b1,a1b2,a2b1,a2b2)

(3)消除：若gcd(a,c)=1，则gcd(ab,c)=gcd(b,c)

6.相减树理论：根据更相减损术的推广，若干数字的gcd可以转化为这些数的相减树+任意一个原数字，如gcd(a,b,c,d,e)=gcd(a-b,b-c,c-d,d-e,e)。

感性理解，只要有一个原数就可以通过相减树得到其它所有数字，辗转相除同理，虽然不能还原出原数，但是信息全部继承了。

7.大量gcd求解技巧：设b[x]表示数列中有多少数字是x的倍数，求解b[x]可以O(n ln n)枚举每个数字的倍数或者O(n log n)线性筛后对每个数分解素因数。

序列中公因数有x的子集个数是2^b[x]-1，运用容斥原理即可得到gcd为对应数字的子集个数。

8.容斥：求所有满足是给定的n个数字的倍数的数字的信息，从最大数字m枚举到1，每次将

例题：【SRM20】数学场

9.辗转相除法对于负数：会得到两个数的gcd，但正负不确定。

辗转相除法对于0：会得到另一个原数。

【扩展欧几里德算法】（不定方程,模线性方程）

参考：jumping_frog(扩欧)

刘汝佳《算法竞赛入门经典第二版》

Matrix67: The Aha Moments(同余)

【基本算法】对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

void gcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
{
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
     else{gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}

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上面求出ax+by=gcd(a,b)的一组解(x1,y1)，任取另外一组解(x2,y2)，令g=gcd(a,b)，则有：

ax1+by1=ax2+by2

a(x1-x2)=b(y2-y1)　　两边同除以g

a'(x1-x2)=b'(y2-y1)　　此时a'与b'互素，因此(x1-x2)一定是b‘的整数倍

x1-x2=kb'　　代入得　　y2-y1=ka'

注意上述推导并没有用到ax+by的右边是什么，也就是说只要求出一组解就可以写成任意解，一切都只需要求出一组解。

结论：设a,b,c为任意整数，若方程ax+by=c的一组整数解为(x0,y0)，则它的任意整数解都可以写成(x0+kb',y0-ka')，其中a'=a/gcd(a,b)，b'=b/gcd(a,b)，k取任意整数。

所以一定要先求出特解(利用右边)，然后纯粹利用左边求出通解，在下面不定方程的求解中这个顺序尤为重要。

注意：再次强调，扩欧只能用于求解ax+by=gcd(a,b)，特殊地，用于求解a'x+b'y=1(a'与b'互质)。

【应用一：求解不定方程】

(丢番图方程) ax+by=c 求解步骤：

1.求g=gcd(a,b)。

2.若c%g≠0，方程无解。（扩欧只能求解ax+by=gcd(a,b)的整数解，如果整体乘上c/gcd(a,b)后不是整数了就无解，开始先同除g方便操作）

3.方程两边同时除以g，得到a'x+b'y=c'。（此方程完全等价，因为解没有变化）

4.通过扩展欧几里德算法求解a'x+b'y=1的一组解(x0,y0)

5.得到原不定方程的一组解(X=x0*c',Y=y0*c')

6.得到原不定方程通解（X+kb',Y-ka'）注意一正一负

7.得到最小非负整数解：x=((X%b‘)+b’)%b‘ , y=((Y%a’)+a‘)%a’（+a或b转为正数）

PS:x、y可能为0，若要求正解要再次特判+a或+b。

PPS：除以g是为了方便计算，对解没有影响。除以g后扩欧只能计算a'x+b'y=1的方程，这时候解就要乘c/g得到原解。

PPPS：一个问题

｛

求解不定方程时，我们通过ax+by=gcd(a,b)整体扩大c/gcd(a,b)倍来得到方程ax+by=c的解。

对于ax+by=gcd(a,b)，通解是（x0+ka/g,y0-kb/g），所以我之前以为ax+by=c的通解应该由ax+by=gcd(a,b)的每一个解扩大c/gcd(a,b)得到。

换句话说，我以为ax+by=c的通解是（c/g*(x0+ka/g),c/g*(y0-kb/g)），后来发现我错了。

紫书中有句不起眼的话：“注意，上面的推导过程并没有用到“ax+by”的右边是什么”。

所以，ax+by=c的通解同样是（x0+ka/g,y0-kb/g），而（c/g*(x0+ka/g),c/g*(y0-kb/g)）会让通解的数量减少。

那为什么之前会有错误的认识呢？其实（c/g*(x0+ka/g),c/g*(y0-kb/g)）没有包含的那些通解就是除以c/g后不是整数的解。

换句话说，ax+by=gcd(a,b)中的有一些非整数解，扩大c/gcd(a,b)倍后就变成了ax+by=c的整数解。

综上，ax+by=c的通解求法是先求特解（X=x0*c/gcd(a,b),Y=y0*c/gcd(a,b)），后求通解（X+kb'/g,Y-ka'/g）。

｝

//？？？紫书中似乎提到一个扩欧解x0,y0的特性：“x可能为负数，但因为|x|+|y|最小，所以加上n以后一定非负”？？？

【应用二：模线性方程组】

---

题外话：

减法取模：(a-b)%n=((a%n)-(b%n)+n)%n　　注意加n

大整数取模：自左向右逐个加入，每次乘10后取模。

幂取模：快速幂运算

---

目标：给定a,b,n，解方程ax≡b(%n)。

a≡b(%n)的含义是“a和b除以n的余数相同“，其充要条件是”a-b是n的整数倍“。

eg. a mod 3 = 1等价于a≡1(mod 3)等价于a-1=k*3。

---

同余性质证明模板：

性质：如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。

证明：条件告诉我们，可以找到p和q使得a-mp = b-mq，也存在r和s使得x-mr = y-ms。于是a-mp + x-mr = b-mq + y-ms，即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s)，这就告诉我们a+x和b+y除以m的余数相同。

---

同余性质：

1.支持同余数的两边同加减乘幂，对于同余运算来说重要的只有余数部分，无关整的部分。

2.除法：若ac≡bc(%m),c≠0则a≡b(% m/gcd(c,m) )其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数　　（简证：g=gcd(c,m)，ac'g-bc'g=k*m'g，约去g，则可得到特殊情况。)

所以，同余符号左右和模数可以同时除以公约数。

特殊地 ,gcd(c,m)=1则a≡b(%m)

{证明：g=gcd(c,m)

ac'g-bc'g=k*m'g，约去g，得到ac'-bc'=k*m'那么得到特殊情况ac≡bc(%m),gcd(c,m)=1。

ac-bc=k*m即(a-b)c=k*m，由于c与m互质，则(a-b)=k*m即a≡b(%m)，得证。

｝

3.若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)

若a ≡ b (mod mi) (i=1,2...n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数

---

ax≡b(%n)

ax-b=ny即ax-ny=b。令g=gcd(a,n)，方程有解当且仅当g|b。

同除以g，得a'x-n'y=b'。

利用扩欧解a'x-n'y=1，本质上是在解ax≡g(%n)，此时的解距离x0还差b/g倍。

x0=(x*b/g)%n，xi=x0+k*(n/g)。

1.证明方程有一解：当g|b时，x为ax≡g(%n)的解，则x0=(x*b/g)%n为ax0≡b(%n)的一解。

2.证明方程有g个解：一解相当于一个同余等价类，x0等价于所有x%n=x0的解x，这里有g个解是指有g个同余等价类。(我觉得紫书中也是这个意思，但非要用y来说明，令人浮想联翩……)

　　首先证明xi=x0+k*(n/g)也是方程的解，前已证得x0为ax0≡b(%n)的一解，则：

　　　　axi=a(x0+k*n/g)(%n)=ax0+ak*n/g(%n)　　由于g|a即a'=a/g，所以axi=ax0(%n)，得证。

　　然后显然xi至多有g个，k的取值为0~g-1。当k≥g时，k=(g*[k/g]+k%g)，[k/g]*(g*n/g)部分可以约去，则实际上与0~g-1等价。

3.解的间隔显然是n/g。

特别注意：大多数题目要求的解是非负数或正数，而扩欧解出来不一定是！！！

【乘法逆元(a^-1)】

逆元详解 by ACdreamer

乘法逆元小结 by Tuesday..

乘法逆元：方程ax≡1(%n)的解称为a关于模n的逆(记得模n)。当gcd(a,n)=1时，该方程有唯一解(同余等价类)；否则，该方程无解。

可以理解为倒数，a*x模n下等于1。在模n意义下，除以a等价于乘a的逆元，即a^(-1)≡a^(φ(n)-1) (%n)。

求逆元的方法：O(log(n))

前提：gcd(a,n)=1即a,n互素。

1.若n为素数(n=p)，则由费马小定理a^(p-1)≡1(%p)得x=a^(p-2)%p。

2.若n不为素数，则由欧拉定理a^φ(n)≡1(%n)的x=a^(φ(n)-1)%n。

3.前两种方法需要快速幂运算，为了方便也可以直接用扩欧解ax-ny=1得到的解x即为逆元。

5.对于x=a!/b!(%p),b!|a!，若gcd(b!,p)>1，可以使用中国剩余定理求解（不会爆数据），过程见下面“中国剩余定理”。

ll inv(ll a,ll n)
{
    ll d,x,y;
    gcd(a,n,d,x,y);
    //return d==1?(x+n)%n:-1;
    return (x%n+n)%n;
}

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<线性求1~n的乘法逆元及其应用>

引用自：乘法逆元的应用 by lzw4896s

乘法逆元函数inv(x)是完全积性函数，即inv(xy)=inv(x)*inv(y)或(xy)^(-1)=x^(-1)*y^(-1) (%p)。

过程：

1.过程中所有数都mod p，实际上在模运算中只要不涉及除法都可以模。

2.首先求出1!,2!,...,n!的值并记录，然后求出n!的逆元。

由与逆元是积性函数，有：

(n!)^(-1)=(n-1)!^(-1)*n^(-1)，移项得

( (n!)^(-1) )/( n^(-1) ) = (n-1)! ^ (-1)

根据除以一个数等价于乘以这个数的逆元

(n!)^(-1)*n=(n-1)^(-1)

从而逆向求出1!,2!,...,n!的逆元。

3.接下来利用阶乘的逆求出每个数的逆。

( (n-1)! ^ (-1) ) * n ^ (-1) = (n!) ^ (-1)　　移项得

n ^ (-1) = ( (n!) ^ (-1) ) / ( (n-1)! ^ (-1) )

根据除以一个数等价于乘以这个数的逆元

n^(-1)=(n!)^(-1)*(n-1)!

注意，两次变换都是根据(n!)^(-1)=(n-1)!^(-1)*n^(-1)【(n!)^_-1=((n-1)!)^-1*(n)^-1】进行的(不同的数字除过去)，这基于乘法逆元是积性函数。

void gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){x=1;y=0;}
    else{gcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}
}
void pre_inv()
{
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<p;i++)fac[i]=(fac[i-1]*i)%p;
    int xx,yy;
    gcd(fac[p-1],p,xx,yy);
    inv[p-1]=((xx%p)+p)%p;//扩欧解不一定是最小非负解！ 
    for(int i=p-2;i>=0;i--)inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
}

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【欧拉函数(phi)】

参考：欧拉函数 by handsomecui

欧拉函数求法与应用 by sentimental_dog

1.定义欧拉函数φ(n)表示1~n中与n互素的数的个数。

φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x的所有素因子

欧拉函数数列：1 1 2 2 4 2

公式的简单理解：对于每个素因子pi，x范围内pi的倍数有x/pi个，即不含pi的有x*(1-1/pi)，连乘起来即可。

2.性质：

(1)对于质数p，φ(p)=p-1，φ(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。(p^(k-1)个p）

(2)欧拉函数是不完全积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

3.公式：n=∑_d|nφ(d)

证明：考虑n的所有数字x∈[1,n]，有(n,x)=d即(n/d,x/d)=1，所以满足(n,x)=d的所有的x的个数为φ(n/d)，那么所有n的因子的φ就是答案。

4.公式：1~n中与n互质的整数和是为( n*φ(n)+[n=1] )/2，证明：gcd(n,i)=gcd(n,n-i)，所以互素数总是成对出现。（但约数和不是n*(n+1)/2-n*φ(n)/2+1……）。

5.求Σgcd(i,n),i=1~n

解：设g(i)=gcd(i,n)，显然g(i)是积性函数。积性函数得前缀和也是积性函数，所以f(n)=Σgcd(i,n),i=1~n也是积性函数，由唯一分解定理：

f(n)=f(p1^a1)*...*f(pk^ak)

又因为f(n)=Σ_d|nφ(d)*n/d（参考n=∑_d|nφ(d)的证明，所有φ(d)的gcd是n/d）

所以f(p^k)=p^k+(p-1)p^0 * p^(k-1) + (p-1)p^1 * p^(k-2) + ... + (p-1)p^(k-1) * p^0=(p-1)*p^(k-1)*k+p^k

int get_phi(int n)
 {
     //phi(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)...*(1-1/pk)
     int m=(int)sqrt(n+0.5);
     int ans=n;
     for(int i=2;i<=m;i++)
      if(n%i==0)
       {
           ans=ans/i*(i-1);//在允许的情况下，先除后乘避免爆范围
        while(n%i==0)n/=i;
       }
     if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
     return ans;
 }

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【欧拉定理&费马小定理】

欧拉定理：a,n为正整数且互素，a^φ(n)≡1(%n)

费马小定理：p为素数，a^(p-1)≡1(%p)

★重要应用：简化幂的模运算 a^b=a^(b%φ(p)) mod p

例如: 计算 7^222的个位数，实际上是求7^222被10除的余数。

且7与10互质，φ(10)=1，由欧拉定理知7^4= 1mod 10

故7^222=(7^4)^55*(7^2)=>(1^55)*(7^2)=>49=>9 mod 10

【欧拉线性筛】

引用自：贾志鹏线性筛

只要一个函数满足三个条件就可以线性筛：

1.p是素数，O(1)求f(p)。

2.f(i)是积性函数

3.f(i*prime[j])可以用f(i)和prime[j]快速算出，其中prime[j]是i的最小素因子。

<素数筛>

本质：每个数字只被最小的素数筛去，把每个数字分解为[素数*倍数]即[prime[j]*i]，其中prime[j]为最小素数。

枚举i=1~n，每次选择比i小的素数组合为合数筛选。

if(i%prime[j]==0)break;如果当前素数已经能整除i，则这个倍数i中有质因数prime[j]，之后筛的prime[j+1]*i这个数字的最小素数是prime[j]，所以后面一定会被prime[j]乘一个倍数筛掉，此时筛就没有必要。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
const int maxsize=1000010;
int n,prime[maxsize],tot;
bool mark[maxsize];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    memset(mark,0,sizeof(mark));
    tot=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
     {
         if(!mark[i])prime[++tot]=i;
         for(int j=1;j<=tot;j++)
          {
              if(i*prime[j]>n)break;
              mark[i*prime[j]]=1;
              if(i%prime[j]==0)break;
          }
     }
    printf("tot=%d\n",tot);
    for(int i=1;i<tot;i++)printf("%d ",prime[i]);
    printf("%d\n",prime[tot]);
    return 0;
}

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找一个数字的所有质因数：记录每个数字的最小素数，然后对目标不断除最小素数就可以得到所有质因数。

线性筛求每个数的每个质因数可以用上面的方法，也可以枚举素数的方数的倍数。下面的方法复杂度也差不多。

遍历每个数字的每个质因数：c[i]记录数字i剩余数字，对每个数字i找其所有倍数j的c[j]除以c[i]（c[i]=1就不执行），这样会自然的使用所有素数方数筛选，只不过多一些不影响复杂度的枚举，大概可以跑1千万。

<积性函数>

积性函数：对于所有互质的正整数a和b有f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

完全积性函数：对于所有正整数a和b有f(ab)=f(a)f(b)的数论函数

f(1)=1

1.性质一：对于n=∏pi^ki，有f(n)=∏f(pi^ki)

2.性质二：对于完全积性函数，还有f(n)=∏f(pi)^ki以及f(n^k)=f(n)^k

3.常见积性函数：欧拉函数，莫比乌斯函数，乘法逆元函数等。

4.积性函数的约数和、前缀和也是积性函数。

坑：浅谈一类积性函数的前缀和

<欧拉函数>

线性筛欧拉函数本质上是因为欧拉函数是积性函数(但不是完全积性函数)。

欧拉函数是积性函数的原因可以从公式上显然看出。

欧拉函数：φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x的所有质因数

筛选过程和素数筛十分相似，因为本质上都是根据唯一分解定理，一个数由其最小的素数筛掉，只是过程中顺便求phi。

1.若i为素数，phi[i]=i-1。

2.若i%prime[j]==0，则i中有prime[j]，那么phi[i*prime[j]]中有的素数phi[i]都有，差的只是最前面乘的数字多个prime[j]，即phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]。然后和素数筛一样退出。

3.若i%prime!=0，则i中没有prime[j]，那么phi[i*prime[j]]中缺少prime[j]，最前面乘的数字多个prime[j]，那么就是乘上(prime[j]-1)/prime[j]和prime[j]，约分得phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1)。

void pre_phi(int x)
{
    phi[1]=1;int tot=0;
    memset(mark,0,sizeof(mark));
    for(int i=2;i<=x;i++)
    {
        if(!mark[i])
        {
            prime[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>x)break;
            mark[i*prime[j]]=1;//筛 
            if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

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<莫比乌斯函数>

1.μ(1)=1。

2.x含有奇数个素因子，μ(x)=-1。

3.x含有重复素因子，μ(x)=0。

4.x含有偶数个素因子，μ(x)=1。

显然，μ函数是积性函数，那么根据μ(1)=1和μ(p)=-1（p为素数），可以筛出所有莫比乌斯函数。

另有埃式筛法，μ(x)是其所有因子的μ和取反。

例题：【CodeForces】585 E. Present for Vitalik the Philatelist

<最小素因子幂次>

1.p，d=1

2.i%prime[j]，d=1

3.i%prime[j]==0，d=d[i]+1

<约数个数>

1.p，e=2

2.i%prime[j]，e=e[i]*e[prime[j]]=e[i]*2

3.i%prime[j]==0，e=e[i]/(d[i]+1)*(d[i]+2)

<约数和>

1.p，f=i+1

2.i%prime[j]，f=f[i]*f[prime[j]]

3.i%prime[j]==0，f=f[i]+f[i/mi[i]]*mi[i]*prime[j]

【中国剩余定理(CRT)】

引用自：孙子定理_百度百科

由于公式较多，就直接贴图片了。

详细过程看百科，只要顺序看下来就能理解了，下面的过程是从那里简化的。

中国剩余定理实际上实在求解一元同余方程组(S)

<中国剩余定理的通解>

当m₁...m_n两两互质时有解，通解可以采用构造法获得。

　　注意此时逆元必定只针对模mi意义下成立（mi之间两两互质）

方程组(S)的通解形式为：

★在模M意义下只有唯一解：

<证明>

由以上两条就很容易看出构造法的神奇了，在%mi意义下，ti*Mi=1（gcd(Mi,mi)=1），而其它a_jt_jM_j由于模数互质无法变1，又因为M_j中含mi而约去，最终剩下a_i。

由于mi两两互质，显然下一个解间隔为M，故得证。

★重要应用：处理非互素逆元

【BZOJ】2142 礼物 CRT

【排列组合】

具体内容见计数问题——onion_cyc。

<二项式定理>

观察杨辉三角可以发现，它的第i行的数字是C(i-1,0),C(i-1,1)...C(i-1,i-1)，即同一行同下标，上标从0开始递增。

由杨辉三角也可以发现组合数的两大核心性质（同行左右对称，每个数等于上面和上面左边两数之和）。

另一方面，把(a+b)^n展开的多项式系数和杨辉三角一致，由此可得

★二项式定理：

其中组合数对应杨辉三角也对应系数，后边对应项的内容。

也可以理解为n个括号，多少个选a，多少个选b出来的结果。

而求解系数可以使用组合数性质4。

【组合数取模】lucas定理

引用自：lucas_百度百科(证明)

组合数取模 by ACdreamers

证明过程见百度百科，大概是根据二项式定理左右变换后展开推导。

★Lucas定理：C(n,m)=C(n%p,m%p)*C(n/p,m/p) mod p　　对于C(n/p,m/p)递归处理。

注意p应是素数。

定理的本质是把n和m看成p进制数，对于C(n,m)%p，如果

则有

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int p=10007;
int fac[p+10],inv[p+10];
void gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){x=1;y=0;}
    else{gcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}
}
void pre_inv()
{
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<p;i++)fac[i]=(fac[i-1]*i)%p;
    int xx,yy;
    gcd(fac[p-1],p,xx,yy);
    inv[p-1]=((xx%p)+p)%p;//扩欧解不一定是最小非负解！ 
    for(int i=p-2;i>=0;i--)inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
}
int C(int n,int m)
{
    if(n<m)return 0;
    if(n<p&&m<p)return (1ll*fac[n]*inv[m]*inv[n-m])%p;
    return (C(n%p,m%p)*C(n/p,m/p))%p;
}
int main()
{
    pre_inv();
    int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    //for(int i=0;i<10;i++)printf("inv_%d=%d\n",i,inv[i]);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d\n",C(n,m));
    }
    return 0;
}

BZOJ 2982

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简单总结：

1.模数为素数：lucas

例题：【BZOJ】1951[Sdoi2010]古代猪文

模数分解后无平方因子，直接分开计算素模数lucas后用CRT合并。

2.模数为素数平方：扩展lucas

例题：【BZOJ】2142 礼物

模数分解后有平方因子，分成若干p^k后提取上下的因子p抵消后快速幂加回。

这种算法称为扩展lucas，再用CRT合并。

lucas的复杂度瓶颈都是模数范围的阶乘预处理，即O(min(n,p))，p是分解后的模数。所以一般用于n太大而p不大的情况。

3.例题：【BZOJ】1485: [HNOI2009]有趣的数列

这题求组合数，p较大且不一定是素数，n较小。

采用的方法是对每个数字分解素因数，统计每个素因子最终的出现次数，分子+分母-，最后直接模p。

有点厉害……

【素数测试】Miller-Rabin算法

引用自：数论部分第一节：素数与素性测试 by Matrix67

当p为素数时，根据费马小定理，有$a^{p-1}=1(\%p)$。

根据Miller-Rabin测试原理，当$x^2=1(\%p)$时，有$x=n-1||x=1$,因为x^2-1=(x+1)(x-1)。

也就是可以提取指数中的因子2，则当$a^{2k}=1(\%p)$时，需要满足$a^k=1(\%p)$或$a^k=p-1(\%p)$。

探测过程：选择一个底数px，分解$n-1=d*2^k$，初始为d每次乘2到n-1为止，每次进行Miller-Rabin测试，最后进行Fermat测试。

底数2,7,61即可探测出所有int范围内的素数。

需要特别注意，选为底数的数字要特判。（2,7,61）

#include<cstdio> 
const int px[]={2,7,61};
int power(int x,int k,int m){
    int ans=1;
    while(k){
        if(k&1)ans=1ll*ans*x%m;
        x=1ll*x*x%m;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
bool prime(int n){
    for(int i=0;i<=2;i++){
        if(px[i]==n)return 1;//!!!
        int x=n-1;
        while(!(x&1))x>>=1;
        int now=power(px[i],x,n),last;
        while(x<n-1){
            last=now;now=1ll*now*now%n;x<<=1;
            if(now==1&&last!=1&&last!=n-1)return 0;//Miller-Rabin
        }
        if(now!=1)return 0;//fermat
    }
    return 1;
}
int main(){
    int p;scanf("%d",&p);
    printf("isprime=%d\n",prime(p));
    return 0;
}

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【扩展欧拉定理】

直接看：【CodeForces】906 D. Power Tower 扩展欧拉定理

【莫比乌斯反演】解决因子或素因数个数有关的问题

参考：莫比乌斯反演课件 by PoPoQQQ

★概念：对于函数F(n)=Σ_d|nf(d)（即满足积性函数），根据莫比乌斯反演定理，可得f(n)=Σ_d|nμ(d)*F(n/d)或f(n)=Σ_n|dμ(d/n)*F(d)。（若F(n)可以表示成所有因子f值的和，f值就可以通过F反演得到）

定义：μ(d)为莫比乌斯函数，定义如下：（本质上是一个关于因子的容斥系数函数）

(1) d=1,μ(d)=1

(2) d含重复素因子，μ(d)=0

(3) 否则，设素因子个数为k，μ(d)=(-1)^k

性质：对于任意正整数n，有：

n=1，Σ_d|nμ(d)=1

n>1，Σ_d|nμ(d)=0

证明：将n唯一分解，则μ≠0的只有次数为1的因子，组合数带入二项式定理得证（详见课件）。

性质：莫比乌斯函数是非完全积性函数，可以用欧拉线性筛求解。f(1)=1，积性函数的前缀和也是积性函数

莫比乌斯函数可以用于和因子或素因数个数有关的容斥题目。

反演定理形式1：对于函数F(n)=Σ_d|nf(d)，可得f(n)=Σ_d|nμ(d)*F(n/d)。

证明：

1.f(n)=Σ_d|nμ(d)*F(n/d)

2.=Σ_d|nμ(d)*Σ_k|(n/d)f(k)（由函数F(n)=Σ_d|nf(d)得到）

3.=Σ_k|nf(k)*Σ_d|(n/k)μ(d)

解释：已知k|n，求满足d|n,k|(n/d)的d。

k*x=n/d即k*x*d=n，由k|n得x*d=n/k即d|(n/k)

4.=f(n)（由前面的性质只有k=n时Σ_d|(n/k)μ(d)结果为1）

反演定理形式2：对于函数F(n)=Σ_n|df(d)，可得f(n)=Σ_n|dμ(d/n)*F(d)

证明同理，第三步如下：

已知n|k，求满足n|d,d|k的d。

n*x=d　　d*y=k，两式相乘得n*x*y=k，又n|k，所以x*y=k/n。

由一式x=d/n，代入得y*d/n=k/n即(d/n)|(k/n)，故得证。

应用：

1.容斥原理：和素因子个数有关容斥。

例题：【BZOJ】2440: [中山市选2011]完全平方数

2.数对问题

①令f[x]表示满足给定条件的gcd(a,b)=x的数对个数，F[x]表示满足给定条件的满足 x | gcd(a,b) 的数对个数，则F[x]=Σ_x|df(d)。

易得F[x]=(n/x)*(m/x)，那么根据莫比乌斯反演定理，f(x)=Σ_x|dμ(d/n)*F(d)=Σ_x|dμ(d/n)*(n/d)*(m/d)。

f(x)=Σ_x|dμ(d/n) * (n/d) * (m/d)，最后由gcd(a,b)=x等价于gcd(a/x,b/x)=1，令n/=x,m/=x就可以对f(1)进行取值分块优化。

②对于gcd(a,b)=x的数对个数，由[gcd(i,j)=1] <=> Σ_d|i^d|j μ(d)，可得

f(x)=Σ_d<=mins μ(d)*(n/xd)*(m/xd)，mins=min(n/x,m/x)，可以直接进行取值分块优化。

例题：

（1）【BZOJ】2301: [HAOI2011]Problem b 由Σ_d|n得到Σ_t=1~N/d从而分块取值优化

（2）【BZOJ】2820: YY的GCD 多组询问，交换两个Σ的顺序，前面√n回答询问，后面预处理前缀和。

（3）【BZOJ】3529: [Sdoi2014]数表多组询问，交换Σ，前面√n回答询问，后面预处理前缀和。

（4）【BZOJ】2154: Crash的数字表格推出前后两次分块取值优化

（5）【BZOJ】2693: jzptab 多组询问，合并前两个Σ，前面√n回答询问，后面预处理前缀和。

公式推导常用技巧：

1.“Σ”的移动与合并。

//2.Σ_i=1~nΣ_j=1~i (i,j) <==> [ Σ_i=1~nΣ_j=1~n (i,j)+Σ_i=1~n (i,i) ] /2

3.由Σ_d|n得到Σ_t=1~N/d从而分块取值优化

//4.n/a/b <=> n/ab，分块取值优化

5.Σi=1~nΣj=1~m (i,j) <=> Σx=1~nmΣd|x (d,x/d)

6.上界为n，实际只有√n

7.[gcd(i,j)=1] <=> Σ_d|i^d|j μ(d)

8.f,F可以简单定义为满足指定条件了的数对，第二步反演可以变成，f(x)=Σ_x|dμ(d/n)*F(d)，令i=d/n，f(x)=Σ_i=1~x/dμ(i)*F(in)。

9.Σ_d|nμ(d)/d=φ(n)/n

【补充知识】

1.高斯函数（下取整函数）至多有2*√n个取值，即f(i)=[n/i]。

2.调和级数：1+1/2+1/3+...+1/n，数量级为ln n。

3.约数相关：

数字n的约数个数：num=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)

1~n中所有数的约数个数和num=[n/1]+[n/2]+...+[n/n]，数量级为n ln n，计算O(√n)（见1）。

数字n的约数和约数和：√n

1~n中所有数的约数和num= i * (n/i+1)*(n/i)/2。（O(√n)）（枚举约数贡献等差数列）

约数有对应关系，d1*dk=d2*d(k-1)=...=n

互素数有对应关系，gcd(i,n)=gcd(n-i,n)

4.两个相邻奇数互素

5. 满足x%a&&x%b的数字和满足x%ab的数字一一对应

posted @ 2017-12-04 20:57 ONION_CYC 阅读(1280) 评论(0) 编辑收藏举报

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Bryce Chen

ONION_CYC

【专题】数论

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