【BZOJ】1828: [Usaco2010 Mar]balloc 农场分配（经典贪心）

【算法】贪心+线段树

【题意】给定n个数字ci，m个区间[a,b](1<=a,b<=10^5)，每个位置最多被ci个区间覆盖，求最多选择多少区间。

附加退化问题：全部ci=1，即求最多的不相交的区间。

【题解】本题是区间和点之间的经典贪心，有两种经典做法，本质思想都是通过排序实现扫描线，细节根据题目不同而不同。

一、从区间角度出发，按区间右端点从小到大排序

然后再按左端点从大到小排序，从左到右能加就加。

感性理解：在对右影响一致的情况下，选择对左影响最小的。

证明：假设有最优决策序列S和当前决策序列P，对于S中选择了的区间[a,b]（a之前的不再考虑），由于同一右端点能选就选，所以在P中和[a,b]对应的区间[c,d]满足d<=b。

如果d<a，则P优于S。

如果a<=d<b，则在1~d答案一致的情况下，S还给[d+1,b]减一，P优于S。

如果d=b，则P和S一致。

过程中由于a之前不再考虑，不再详细讨论左端点的情况。

从而P不劣与S，证毕。

这是贪心证明的经典过程。

然后用线段树维护区间减和区间最小值。

程序，留坑。

 

二、从点的角度出发，按区间左端点排序。

每个点需要选择ci个线段，在对左影响相同（左边点都满足了）的情况下，选择右端点偏左的。

具体实现方式：用堆维护当前节点的线段，一个线段入堆只在其左端点处就可以了，提前算一下每个点的线段覆盖数（只记差分，过程中边算边算前缀和）。