Havel定理

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中文名

Havel定理

外文名

Canisters theorem

特    点

非负整数序列{dn}

实    质

无向图使得图中各点的度

给定一个非负整数序列{dn}，若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应，则称此序列可图化。进一步，若图为简单图，则称此序列可简单图化

可图化的判定：d1+d2+……dn=0（mod 2）。关于具体图的构造，我们可以简单地把奇数度的点配对，剩下的全部搞成自环。

可简单图化的判定（Havel定理）：把序列排成不增序，即d1>=d2>=……>=dn，则d 可简单图化当且仅当d’={d2-1，d3-1，……d(d1+1)-1， d(d1+2)，d(d1+3)，……dn}可简单图化。简单的说，把d排序后，找出度最大的点（设度为d1），把它与度次大的d1个点之间连边，然后这 个点就可以不管了，一直继续这个过程，直到建出完整的图，或出现负度等明显不合理的情况。

定理的证明：略

 

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然后贴一个实现的代码

#define REP(i, n) for(int i=0; i<n; i++)
pair<int, int> e1[maxm], e2[maxm];
struct Node
{
    int d, id;
    bool operator < (const Node& rhs) const
    {
        return d > rhs.d;
    }
} p[2][maxn];


bool solve(Node *p, pair<int, int> *e)
{
    int cnt = 0;
    REP(i, n-1)
    {
        sort(p+i, p+n);
        if(p[i].d+i > n-1) return false;
        for(int j=i+1; j <= p[i].d+i; j++)
        {
            if(--p[j].d < 0) return false;
            e[cnt++] = make_pair(p[i].id+1, p[j].id+1); // 加边
        }
    }
    return p[n-1].d == 0;
}