hdu4623：crime 数学优化dp

鞍山热身赛的题，也是去年多校原题

题目大意：

求n个数的排列中满足相邻两个数互质的排列的数量并取模

当时的思路就是状压dp.. dp[i][state]  state用二进制记录某个数是否被取走，i 表示当前序列末尾的数字

然后gcd状态转移

可是n是28，算了一下有几亿个状态。。没法做。。

回来之后找了题解发现可以用数学方法优化，于是搞了半天终于ac了

首先在这个问题中：

两个数是否互质只与他们的质因数有关，所以质因数相同的数是等价的，称作此问题的等价类

质因数找到这些等价类，并得到每个类中的数的数量是很容易的。。

所以只需要对这些等价类进行处理，最后对每个等价类再乘以数量的排列数就可以得到答案了。

不过此时有了数量，就不能用二进制状压了，应该采用哈希来状压。

研究了一会发现哈希状压和二进制状压差不多，只不过把基数从(1+1)^n变成了 (num[1]+1)*(num[2]+1)....也是很好理解的

这些状态处理完，发现对于n=28只有 5600000个状态了，等价类数是17 所以复杂度是17*5600000

一交MLE了。由于取模最大30000，把数组改为short，中间结果int防溢出，不爆内存了。

然后时限30s，以为可以过，结果又T了。。

于是又想了一会，发现17，19，23这三个数与其他任意一个数的互质。。所以他们与 1 是等价的

加了这个优化以后复杂度下降到约为 14*1800000

8800ms AC...

代码如下

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int prime[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23};
const int np=9;
int state[30];
int g[300][300];
int vi[300];
int num[30];
int base[30];
short dp[19][2000000];
bool ok[29];
int n,m,ns,st;
void ini()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(g,0,sizeof(g));
    memset(vi,0,sizeof(vi));
    memset(num,0,sizeof(num));
    ns=0;
    state[++ns]=0;
    num[ns]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        st=0;
        if(ok[i])
        {
            num[1]++;
            continue;
        }
        for(int j=0;j<np;j++)
        {
            if(i%prime[j]==0)
            {
                st|=(1<<j);
            }
        }
        if(!vi[st])
        {
            state[++ns]=st;
            num[ns]=1;
            vi[st]=ns;
        }
        else
        {
            num[vi[st]]++;
        }
    }
    for(int i=1;i<=ns;i++)
    {
        for(int j=1;j<=ns;j++)
        {
            if((state[i]&state[j])==0)
                g[i][j]=1;
        }
    }
    base[1]=1;
    st=0;
    for(int i=1;i<=ns;i++)
    {
        base[i+1]=base[i]*(num[i]+1);
        st+=base[i]*num[i];
    }
}
int getnum(int i,int x)
{
    int res=(x%base[i+1])/(base[i]);
    return res;
}
int getstate(int i,int num)
{
    return num*base[i];
}
void dfs(int t,int x)
{
    if(t==0)
    {
        dp[x][0]=1;
        return ;
    }
    if(dp[x][t]!=-1)
        return;
    dp[x][t]=0;
    for(int i=1;i<=ns;i++)
    {
        if(g[x][i]&&getnum(i,t)>=1)
        {
            dfs(t-base[i],i);
            dp[x][t]=((int)dp[x][t]+dp[i][t-base[i]])%m;
        }
    }
    return;
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif // ONLINE_JUDGE
    int T;
    scanf("%d",&T);
    memset(ok,0,sizeof(ok));
    ok[17]=1;
    ok[19]=1;
    ok[23]=1;
    while(T--)
    {
        ini();
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=ns;i++)
        {
            dfs(st-base[i],i);
            ans=((int)ans+dp[i][st-base[i]])%m;
        }
        for(int i=1;i<=ns;i++)
        {
            while(num[i]>1)
            {
                ans=((int)ans*num[i])%m;
                num[i]--;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}