【最长上升子序列+二分优化】麻烦的聚餐 egroup.pas/c/cpp

麻烦的聚餐
egroup.pas/c/cpp

 

为了避免餐厅过分拥挤，FJ要求奶牛们分3批就餐。每天晚饭前，奶牛们都会在餐厅前排队入内，按FJ的设想，所有第3批就餐的奶牛排在队尾，队伍的前端由设定为第1批就餐的奶牛占据，中间的位置就归第2批就餐的奶牛了。由于奶牛们不理解FJ的安排，晚饭前的排队成了一个大麻烦。
第i头奶牛有一张标明她用餐批次D_i(1 <= D_i <= 3)的卡片。虽然所有N(1 <= N <= 30,000)头奶牛排成了很整齐的队伍，但谁都看得出来，卡片上的号码是完全杂乱无章的。 在若干次混乱的重新排队后，FJ找到了一种简单些的方法：奶牛们不动，他沿着队伍从头到尾走一遍，把那些他认为排错队的奶牛卡片上的编号改掉，最终得到一个他想要的每个组中的奶牛都站在一起的队列，例如111222333或者333222111。哦，你也发现了，FJ不反对一条前后颠倒的队列，那样他可以让所有奶牛向后转，然后按正常顺序进入餐厅。
你也晓得，FJ是个很懒的人。他想知道，如果他想达到目的，那么他最少得改多少头奶牛卡片上的编号。所有奶牛在FJ改卡片编号的时候，都不会挪位置。

【输入格式】
第1行: 1个整数：N
第2..N+1行: 第i+1行是1个整数，为第i头奶牛的用餐批次D_i

【输入样例】 (egroup.in):
5
1
3
2
1
1

【输入说明】
队列中共有5头奶牛，第1头以及最后2头奶牛被设定为第一批用餐，第2头奶牛的预设是第三批用餐，第3头则为第二批用餐。

【输出格式】
第1行: 输出1个整数，为FJ最少要改几头奶牛卡片上的编号，才能让编号变成他设想中的样子

【输出样例】(egroup.out):
1

【输出说明】
如果FJ想把当前队列改成一个不下降序列，他至少要改2头奶牛的编号，一种可行的方案是：把队伍中2头编号不是1的奶牛的编号都改成1。不过，如果FJ选择把第1头奶牛的编号改成3，就能把奶牛们的队伍改造成一个合法的不上升序列了。

 

 

 

 

拿到这一题，根据题目提示都应该想到了两次最长不降子序列和最长不升子序列，那么都是O(N²)的效率，题目又是N<=30000，怎么也过不了，怎么办呢？

换一种思路，由于奶牛的编号只有1,2,3，那么我们可以用f[i][x]  (x:1~3) 来维护前 i 头牛以 x 结尾的最小调整次数，方程如下

 

那么第一种最长不升子序列的方法难道就不能过了吗？我们可以用二分来优化它

令我们读入的数据存在数组a[]中，再多开一个数组c[]，c[len]表示长度为 len 的最大不升（不降）子序列。（为了方便，下面只讨论最大不升子序列，另一个同类）

假设数据为5 8 1 2 5 6 6，首先5存入c[]中并且len+1，接下来8>c[len]，我们用二分找到第一个小于8的为c[1]，所以c[1]=8，接下来1存入，len+1，2>c[len] ，二分找到c[2]，所以c[2]=2，接下来5>c[len]，同理c[2]=5，在接下来6>a[len]同理a[2]=6，最后6=a[len]，所以a[++len]=6（因为我们是找最长不升子序列，所以等号也满足），最后len的值就是最长不升子序列最大的长度

最大不降子序列同上

下面给出  二分优化的最长上升/下降子序列  代码

C++ Code

/*******************************
C++ Code
http://oijzh.cnblogs.com
By jiangzh
*******************************/
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 30010
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define INF 0x77777777

int n,a[MAXN];
int c[MAXN],len;
int ans;

int find1(int x)
{
    int l=1,r=len,mid;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(c[mid]>=x)l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return l;
}

int find2(int x)
{
    int l=1,r=len,mid;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(c[mid]<=x)l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return l;
}

int main()
{
    freopen("egroup.in","r",stdin);
    freopen("egroup.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    
    len=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)//求最长不升子序列
    {
        int p=find1(a[i]);
        len=max(len,p);
        c[p]=a[i];
    }
    ans=len;

    len=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)//最长不降子序列
    {
        int p=find2(a[i]);
        len=max(len,p);
        c[p]=a[i];
    }
    ans=max(ans,len);
    printf("%d",n-ans);

    return 0;
}