【最大立方体和】吃西瓜rqnoj93
吃西瓜rqnoj93
题目描述
[说明]此题中出现的所有数全为整数
[背景]SubRaY有一天得到一块西瓜,是长方体形的....
[题目描述]SubRaY发现这块西瓜长m厘米,宽n厘米,高h厘米.他发现如果把这块西瓜平均地分成m*n*h块1立方厘米的小正方体,那么每一小块都会有一个营养值(可能为负,因为西瓜是有可能坏掉的,但是绝对值不超过200).
现在SubRaY决定从这m*n*h立方厘米的西瓜中切出mm*nn*hh立方厘米的一块小西瓜(一定是立方体形,长宽高均为整数),然后吃掉它.他想知道他最多能获得多少营养值.(0<=mm<=m,0<=nn<=n,0<=hh<=h.mm,nn,hh的值由您来决定).
换句话说,我们希望从一个m*n*h的三维矩阵中,找出一个三维子矩阵,这个子矩阵的权和最大.
一个2*3*4的例子,最优方案为切红色2*3*1部分
[数据范围]
对于30%的数据,h=1,1<=m,n<=10
对于全部的数据,1<=h<=32,1<=m,n<=50,保证h<=m,n
输入格式
首行三个数h,m,n(注意顺序),分别表示西瓜的高,长,宽.
以下h部分,每部分是一个m*n的矩阵,第i部分第j行的第k个数表示西瓜第i层,第j行第k列的那块1立方厘米的小正方体的营养值.
输出格式
SubRaY所能得到的最大营养值
样例输入
2 3 4
4 1 2 8
0 5 -48 4
3 0 1 9
2 1 4 9
1 0 1 7
3 1 2 8
样例输出
45
说这一题之前不得不先总结一下前两道类似的题
旅游路线 http://www.cnblogs.com/oijzh/archive/2012/10/19/2731052.html 一维
最大加权矩形 http://www.cnblogs.com/oijzh/archive/2012/10/19/2731678.html 二维
旅游路线 相当于要求取一条线来取最大子区间和,是一维的 ,时间效率O(n)
最大加权矩形 是取一个矩阵,需要压缩成一维的,就和上面一样了,总体是二维的,时间效率O(n3)
而这一题,求一个最大立方体,就需要压缩成矩阵,再压缩成线,总体是三维的,时间效率O(n5)
首先说说怎么压缩,最大加权矩形我们用sum[i][j]表示前 i 行的第 j 列的和,这里我们可以一次类推,用sum[k][i][j]表示前 k 层、前 i 行的第 j 列的和,这里在放一下图距离说明一下
例如sum[2][2][2]就表示前2层前2行的第二列的和(图中绿色的部分)
在读入数据的时候就可以维护出来每一层的sum[k][i][j]=sum[k][i-1][j]+a[i][j];
读完后再来一次循环加上前面几层的 sum[k][i][j]+=sum[k-1][i][j];
然后(和前面说的几题一样,只是多了一个高度)我们就枚举层(上界k 和 下界kk),枚举行(上界i 和下界ii),再枚举列j
现在就需要把他们压缩了,比如当循环到k=2,kk=2,i=3,ii=3,j=4就为上图中的蓝色部分的一个,把他们压缩出来记为cc,用下图来说明
那么cc=sum[kk][ii][j]-sum[kk][i-1][j]-(sum[k-1][ii][j]-sum[k-1][i-1][j]); (颜色与图中对应,应该很好看懂了)
剩下的就是经典问题了,f[j]=max(f[j]+cc,cc);
C++ Code
/* C++ Code http://oijzh.cnblogs.com */ #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define MAXH 40 #define MAXN 60 #define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b) #define INF 0x7fffffff int h,n,m; int a[MAXH][MAXN][MAXN]; int sum[MAXH][MAXN][MAXN];//sum[k][i][j]前 k 层的前 i 行的第 j 列的和 int f[MAXN]; void debug() { int k,i,j; for(k=1;k<=h;k++) { for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=m;j++) printf("%d ",sum[k][i][j]); printf("\n"); } printf("\n"); } printf("\n"); } int main() { freopen("rqn93.in","r",stdin); freopen("rqn93.out","w",stdout); scanf("%d%d%d",&h,&n,&m); int k,i,j; for(k=1;k<=h;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) { scanf("%d",&a[k][i][j]); sum[k][i][j]=sum[k][i-1][j]+a[k][i][j]; } //debug(); for(k=1;k<=h;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) sum[k][i][j]+=sum[k-1][i][j]; //debug(); int kk,ii,cc; int maxx=-INF; for(k=1;k<=h;k++) for(kk=k;kk<=h;kk++) for(i=1;i<=n;i++) for(ii=i;ii<=n;ii++) { f[0]=0; for(j=1;j<=m;j++) { //printf("k=%d;kk=%d;i=%d;ii=%d;j=%d;",k,kk,i,ii,j); cc=sum[kk][ii][j]-sum[kk][i-1][j]-(sum[k-1][ii][j]-sum[k-1][i-1][j]); f[j]=max(f[j-1]+cc,cc); maxx>?=f[j]; //printf("maxx=%d\n",maxx); } } printf("%d",maxx); return 0; }