天平秤物问题
问题1:有7克、2克砝码各一个,天平一只,如何秤三次将140克的盐分成50、90克各一份?
分析:第一次:将140克盐平分成两堆;第二次:将两砝码放天平一端,可从一堆70克盐里分离出9克盐;第三次:将秤得的9克盐和2克砝码放天平一端,可从61克盐那堆分离出11克盐。这样就把140克盐分成了4堆:9克+11克+70克+50克,将前3堆合并就成了90克,而另一堆就是50克。
问题2:有10罐药,每罐1000粒,其中有一罐已经变质。已知正常的药每粒10g, 变质的每粒9g, 如何只秤一次就查出哪罐变质了?
分析:将10罐药分别标号为1,2,...,10.然后从第i罐取出i粒,i=1,2,...,10.则可知:若药正常,其质量为(1+2+...+10)×10=550g,而实际用天平秤出的质量为xg,显然x<550,由于变质的药比正常的药轻1g, 则可知变质的药所对应的罐的标号为:(550-x)/1=550-x.
问题扩展:若有多罐变质呢?
分析:显然,上述的方法已经不再适用。依旧将10罐药分别标号为1,2,...,10.然后从第i罐取出2i-1粒,i=1,2,...,10,即1,2,4,...,512.则可知:若药正常,其质量为(1+2+...+512)×10=10230g,而实际用天平秤出的质量为xg,显然x<10230.记减轻的质量y=(10230-x)g,将y表示成二进制,则其对应数字为1的位置即为变质的药罐的标号。例如y=1110=10112.则可知变质的药罐数为3,标号分别为1,2,4.
问题3:12个相同的小球,其中有1个球制作时质量偏轻了,给你一个天平,问最少秤几次能确保找出质量偏轻的球。
分析:3次。该问题有多种解法,这里只提供一种。首先将12个球分为3组,每组4个,取其中两组分别放在天平的两端,若天平不平衡,则轻的球在天平轻的一端那四个球里,否则,轻的球在剩下的那组的4个球里。即秤一次可将目标锁定在4个球里。而秤一次无法确保从4个球里找出偏轻的球,秤两次则可以,故最少需要3次。剩下的两次有两种方案,如下:
方案1:将4个球分为3组:1,1,2.取球数为1的两组分别放在天平的两端,若天平不平衡,则轻的球在天平轻的一端,结束,此时总共秤了2次;否则,轻的球在剩下的那组的2个球里,再秤一次,可找出轻的球,此时总共秤了3次。故最坏情况下,秤3次能确保找出质量偏轻的球。
方案2:将4个球分成2组,每组2个,分别放在天平的两端,可将目标锁定在较轻的一端的2个球里,再秤一次,可找出轻的球,此时总共秤了3次。
对比方案1与方案2,方案1较优,因为它有几率在2次内找出目标,最差也就3次;而方案2则固定是3次。
问题扩展1:把"12"换成"n"呢?
分析:答案为对log3n上取整。即:2-3 --> 1; 4-9 --> 2; 10-27 --> 3; 28-81 --> 4 ...
问题扩展2:若把“其中有1个球制作时质量偏轻了”改成“其中有1个球制作时质量与其它11个球不同”呢?
分析:3次。不妨将12个球分别标号为1,2,...,12.分为3组:1-4,5-8,9-12.首先,取1-4和5-8放天平两端秤:
1.若平衡,则目标在9-12里。取9和10放天平两端秤:
① 若平衡,取9和11放天平两端秤:若平衡,则12为目标;否则11为目标。此时总共称了3次。
② 若不平衡,取9和11放天平两端秤:若平衡,则10为目标;否则9为目标。此时总共称了3次。
2.若不平衡,则目标在1-8里,不妨假设1-4重,5-8轻。取1,5-7和8-11放天平两端秤:
① 若平衡,则目标偏重且在2-4里。取2和3放天平两端秤:若平衡,则4为目标;否则重的为目标。此时总共秤了3次。
② 若不平衡:
a.若1,5-7重,则目标在1和8里,1偏重或8偏轻。取1和2放天平两端秤:若平衡,则8为目标;否则1为目标。此时总共秤了3次。
b.若1,5-7轻,则目标偏轻且在5-7里。取5和6放天平两端秤:若平衡,则7为目标;否则轻的为目标。此时总共秤了3次。