《普林斯顿微积分读本》笔记

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则，起始对象成为输入，来自称为定义域的集合，返回对象成为输入，来自称为上域的集合。

一个函数必须给每个有效的输入指定唯一的输入。
值域是所有可能的输出所组成的集合。
定于域如果没有给出，一般包括实数集尽可能多的部分。需注意：
1. 分数的分母不能为零。
2. 不能取一个负数的平方根（或四次根、六次根等）。
3. 不能取一个负数或零的对数。
垂线检查：如果一个图形任何垂线与其相交多于一次，那么它就不是函数的图像；反之如果没有一条垂线和图像相交多于一次，那么它就是函数的图像。

给定一个函数ƒ，在ƒ的值域中选择y，在理想状况下，仅有一个x值满足ƒ(x)=y。如上述理想状况对值域中每个y都成立，即不同的输入对应不同的输出，则可定义一个新函数，它将逆转变换，从输出y出发，这个函数发现有且仅有一个输入x满足ƒ(x)=y。这个新函数称为ƒ的反函数，写作ƒ^-1。

ƒ^-1 的定义域和ƒ的值域相同。
ƒ^-1 的值域和ƒ的定义域相同。
ƒ^-1(y) 的值就是满足 ƒ(x)=y 的x，所以，如果 ƒ(x)=y，那么 ƒ^-1(y)=x
水平线检验：如果每一条水平线和函数的图像相交至多一次，那么这个函数就有一个反函数；如果有水平线和图像相交多于一次，那么这个函数就没有反函数。
求反函数：如果知道函数的图像，反函数就是原函数沿着y=x这条直线的对称图像。
反函数的反函数：如果ƒ有反函数，那么对于在ƒ定义域中所有x，ƒ^-1(ƒ(x))=x 均成立；同样，对于在ƒ值域当中所有y，都有 ƒ(ƒ^-1(y))=y。即ƒ^-1是ƒ的反函数，且ƒ是ƒ^-1的反函数。也就是说，反函数的反函数就是原始函数。

如果对于ƒ定义域里所有x都有ƒ(-x)=ƒ(x)，则ƒ是偶函数。
如果对于ƒ定义域里所有x都有ƒ(-x)=-ƒ(x)，则ƒ是奇函数。

形如 ƒ(x)=mx+b 的函数叫做线性函数。因为它们的图像是直线，直线的斜率是m

多项式
多项式是以x的非负次幂建立，以1、x、x²、x³等为基本项，用实数同这些基本项相乘，最后把有限个项加起来。

p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+……+a₂x²+a₁x+a₀

最大的幂指数n叫做多项式的次数。
- 二次函数：p(x)=ax²+bx+c
  根据判别式的符号可判断二次函数有几个解，通常用希腊字母Δ表示判别式 Δ=b²-4ac。若 Δ＞0，有两个不同的解；若 Δ=0，只有一个解；若 Δ<0，在实数范围内无解。对于前两种情况，解为：
有理函数
形如 p(x)/q(x) ，其中p和q为多项式的函数，叫作有理函数。最简单的有理函数是多项式本身，即q(x)为1的有理函数。另一种简单的例子是1/xⁿ，其中n为正整数。
指数函数和对数函数
一般 y=a^x，(a为常数且a＞0，a≠1)叫作指数函数

如果a^x=N，（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log_aN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
带有绝对值的函数