有关群论_置换群_等的简单介绍
群
群是一个集合G,连同一个运算"·",它结合任何两个元素a和b而形成另一个元素,记为a·b。符号"·"是对具体给出的运算,比如整数加法的一般占位符。要具备成为群的资格,这个集合和运算(G,·)必须满足叫做群公理的四个要求:
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1. 封闭性: 对于所有G中a, b,运算a·b的结果也在G中。 2. 结合性: 对于所有G中的a, b和c,等式 (a·b)·c = a· (b·c)成立。 3. 单位元: 存在G中的一个元素e,使得对于所有G中的元素a,等式e·a = a·e = a成立。 4. 逆元: 对于每个G中的a,存在G中的一个元素b使得a·b = b·a = e,这里的e是单位元。
进行群运算的次序是重要的。换句话说,把元素a与元素b结合,所得到的结果不一定与把元素b与元素a结合相同;亦即,下列等式不一定恒成立:
(没错就是wiki)
补充:群(G,·)常简记为群G,a·b常简记为ab,a的逆元常简记为;
简单的说:就是定义了由一个集合G与其上的一个运算·组成的东西(G,·),然后她有如上4个性质;
例如:实数集R(除去0)和R上的乘便组成了群——封闭性,结合性显然,单位元为1,x的逆元为1/x;
这里还要挂上几个衍生的概念和定理:
群的阶:
群中集合的元素个数;
由于我们经常研究集合元素个数有限的群,故用“有限群”和“无限群”两个名词区分之,且这也使群的阶变得有点用了;
子群:
对群(G,·),若H是G的子集,且(H,·)是群,则(H,·)是(G,·)的子群;
生成集和生成子群:
群G的子集M、所有包含M的G的子群的交构成的子群H,二者是生成集和生成子群的关系,子群H是生成集M的生成子群,记作<M>;
这个定义的含义是:子群H是包含M而又满足群性质的最小集合;
G的任意有交子群的交构成子群H:
只要证明H存在封闭性,单位元,逆元即可(结合律是运算的性质而非集合的性质)
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- 单位元:单位元e一定属于子群的交,她是子群的共有部分,可见e∈H;
- 逆元:所有包含x的子群都包含x的逆元,可见若x∈H,则∈H;
- 封闭性:若a,b∈H,则ab∈H ? 若a,b∈H,则a,b属于所有选定的子群,那么ab属于所有选定的子群,即ab∈H;
直观的讲,如果x属于子群的交,那么x属于所有子群,那么那些使x满足群性质的东西也必然是所有子群共有的,于是x在子群的交里面也满足群的性质;
陪集:
鉴于群不一定有交换律,所以分为左陪集和右陪集;
若H是G的一个子群,a∈G;
则aH={ah|h∈H}是H的左陪集,Ha={ha|h∈H}是H的右陪集;
在一个陪集上加载原群的运算不见得是群,
以左陪集为例:
求证:
可以看出(a*h1)*(a*h2)=a*(h1*a*h2);
于是若a*(h1*a*h2)∈aH,则h1*a*h2∈H;
由于h1,h2∈H,故她们的逆元属于H,则对属于H的上式,乘h1,h2的逆元,也属于H;
即a∈H,与题设矛盾;
这个结论说明陪集上加载原群的运算应该只在a属于H时才是群;
正经的定理1.设H是群G的子群,对任意H的两个左陪集aH和bH,要么aH=bH,要么aH∩bH=∅,对右陪集亦然;
只讨论左陪集;
若存在x∈aH∩bH,则设x=ah1=bh2;
那么,对于任意ah(h∈H)有
由于,故对于任意y∈aH,y属于bH,反之亦然;
于是aH=bH;
对于右陪集亦然;
这个定理是说,随便找一个G的子群H,H的不相等的(左|右)陪集们不重不漏地包含了G的所有元素;
一个符号:
记|G:H|表示G中H的不同右的个数,如,设1为G的子群,且只包含单位元,则|G:1|=|G|,即集合G的大小,也即群G的阶;
|G:H|=|G|/|H|(这里/是整除)
由于不存在ah1=ah2且h1≠h2(某个不给证明的消去律)所以,所有的H的陪集的大小都等于H的大小,
又由于定理1;
所以|G|=|H||G:H|,即|G:H|=|G|/|H|;
正经的定理2.(拉格朗日定理):若H是G的子群,则|G:1|=|G:H||H:1|;
好吧完全是上个引理的翻版么;
还是要给一个证明:
(感谢度娘。。。证得什么玩意)
尽管我们之前的例子中的集合都是仿佛是数集,但是其实对群的大部分研究中,研究的都是集合为(元素是“抽象的事物”的集合)的群;
如下面要讲的——
置换群
先讲置换;
置换:
一个有限集X的置换π是从该有限集映至自身的双射;
如果我们把G的元素从1到|X|编号,那么置换π可以看做一个1到|X|的一个排列;
“”(百度知道的一个说法)
其中第i个位置上的数设为,表示编号为i的元素变为编号为ai的元素;
记为:
或直接记为这里相当于,由于上种表达方法的第一排往往是1到|X|,便默认是1到|X|,然后把它省掉;
置换群:
置换的群;
有限集X的所有置换的个数为|X|!;
设他们构成集合,在这个集合上搭载运算·,表示对原序列依次进行这两个置换;
于是是个|x|!阶群,
因为该群包含了X的所有置换,而显然是其中一个,封闭;因为没有不可挽回的置换,故逆元存在;还有单位元,结合律存在......;
但是该计算不满足交换律
那么的子群显然也是群,记作;(笔者真变态)
几个概念与定理:
轨道与等价类:
原数列集合中的元素β,在置换群G中的所有置换中的像,构成的集合叫做β的轨道,记作,我们也称其为包括β的等价类;
稳定子群(集)与稳定化子:
有限集X中某m个元素构成了X的一个子集A,置换群G中可以使A中所有元素不动的置换构成的子群叫做A的一个稳定子群,又称稳定集,记为;
该定义在m=1时,需要特别关注,也就是有限集X中的元素k,置换群G中可以使元素k不动的置换构成的子群(对其他元素不做要求),记为Gk,我们也称其为k的稳定化子;
轨道-稳定集定理:
|kG|*|Gk|=|G|;
证明:
有限集X中的某元素k,其轨道为kG,稳定化子为Gk,设x∈kG ,集合Sx={$\pi$|$\pi$∈ G ,$\pi$(k)=x},
- 证明,若x≠y,设$\pi$1∈Sx,$\pi$2∈Sy,$\pi$1Gk与$\pi$2Gk无交
- 证明,对于任意$\pi$1,$\pi$2∈Sx,陪集$\pi$1Gk=$\pi$2Gk;
- 于是|kG|=|G:Gk|,套用拉格朗日定理得证;
(参见《工程数学--线性代数同济》一书,第一章 行列式 §2 全排列及其逆序数)
Burnside引理:
设G是目标集[1,n]上的置换群
c(fi)是在置换fi的作用下不动点的个数(即,fi属于几个稳定化子?),也就是长度为1的循环的个数。通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属于同一个等价类。若G将[1,n]划分成L个等价类,则:
$$L={1\over |G|}\sum_{i=1}^{|G|}c(f_i)$$
证明:
设目标集中的元素i,其轨道为iG,稳定化子为Gi,
整理上式:
$$L={1\over |G|}\sum_{i=1}^n|G_i|$$
$$L=\sum_{i=1}^n{|G_i|\over |G|}$$
由轨道-稳定集定理变形,得
$$L=\sum_{i=1}^n{1\over i^G}$$
再通过轨道和等价类的定义,即可发现上式成立,于是本引理成立;
证毕;
需要指出的是,Burnside引理的表述方法显得更具有一般性,
在她的表述中存在1目标集2置换群3等价类,
注意等价类个数是对于目标集而言的;
如在问题“给出一个正方形,一个旋转群,两种颜色,用两种颜色染正方形的四个角,问有几种在旋转群作用下不同的染法”中
当我们使用Burnside引理思考时,
由于等价类个数这个概念是有几种本质不同的方形,
于是等价类是对于每一个整个正方形而言的,
所以目标集是给所有在不旋转时不同的染色情况编号,
然后还要把旋转群转换为目标集上的置换群(若情况1在旋转a的作用下变为情况2,则置换a使1变为2...)
然后套用该引理即可;
Polya定理:
设G是目标集[1,n]上的置换群,设X是以目标集的排列为元素的集合。
m(fi)是在置换fi的作用下循环节的个数,通过上述置换的变换操作后X中可以相等的元素属于同一个等价类。若G将[1,n]用k种颜色分别进行染色,然后把X划分成L个等价类,则染色后的等价类个数L为:
$$L=\sum_{i=1}^{|G|}k^{m(f_i)}$$
(未完待续)