有关群论_置换群_等的简单介绍

 

群是一个集合G,连同一个运算"·",它结合任何两个元素ab而形成另一个元素,记为a·b。符号"·"是对具体给出的运算,比如整数加法的一般占位符。要具备成为群的资格,这个集合和运算(G,·)必须满足叫做群公理的四个要求:

1. 封闭性: 对于所有Gab,运算a·b的结果也在G中。
2. 结合性: 对于所有G中的abc,等式 (a·bc = a· (b·c)成立。
3. 单位元: 存在G中的一个元素e,使得对于所有G中的元素a,等式e·a = a·e = a成立。
4. 逆元: 对于每个G中的a,存在G中的一个元素b使得a·b = b·a = e,这里的e是单位元。

进行群运算的次序是重要的。换句话说,把元素a与元素b结合,所得到的结果不一定与把元素b与元素a结合相同;亦即,下列等式不一定恒成立:

(没错就是wiki)

补充:群(G,·)常简记为群G,a·b常简记为ab,a的逆元常简记为

简单的说:就是定义了由一个集合G与其上的一个运算·组成的东西(G,·),然后她有如上4个性质;

例如:实数集R(除去0)和R上的乘便组成了群——封闭性,结合性显然,单位元为1,x的逆元为1/x;

 

这里还要挂上几个衍生的概念和定理:

 

群的阶

群中集合的元素个数;

由于我们经常研究集合元素个数有限的群,故用“有限群”和“无限群”两个名词区分之,且这也使群的阶变得有点用了;

 

子群

对群(G,·),若H是G的子集,且(H,·)是群,则(H,·)是(G,·)的子群;

 

生成集和生成子群:

群G的子集M、所有包含M的G的子群的交构成的子群H,二者是生成集和生成子群的关系,子群H是生成集M的生成子群,记作<M>;

这个定义的含义是:子群H是包含M而又满足群性质的最小集合;

G的任意有交子群的交构成子群H:

  只要证明H存在封闭性,单位元,逆元即可(结合律是运算的性质而非集合的性质)

    •   单位元:单位元e一定属于子群的交,她是子群的共有部分,可见e∈H;
    •   逆元:所有包含x的子群都包含x的逆元,可见若x∈H,则∈H;
    •    封闭性:若a,b∈H,则ab∈H ? 若a,b∈H,则a,b属于所有选定的子群,那么ab属于所有选定的子群,即ab∈H;

  直观的讲,如果x属于子群的交,那么x属于所有子群,那么那些使x满足群性质的东西也必然是所有子群共有的,于是x在子群的交里面也满足群的性质;

 

陪集

鉴于群不一定有交换律,所以分为左陪集和右陪集;

若H是G的一个子群,a∈G;

则aH={ah|h∈H}是H的左陪集,Ha={ha|h∈H}是H的右陪集;

 

在一个陪集上加载原群的运算不见得是群,

以左陪集为例:

求证:

 可以看出(a*h1)*(a*h2)=a*(h1*a*h2);

于是若a*(h1*a*h2)∈aH,则h1*a*h2∈H;

由于h1,h2∈H,故她们的逆元属于H,则对属于H的上式,乘h1,h2的逆元,也属于H;

即a∈H,与题设矛盾;

这个结论说明陪集上加载原群的运算应该只在a属于H时才是群;

 

正经的定理1.设H是群G的子群,对任意H的两个左陪集aH和bH,要么aH=bH,要么aH∩bH=∅,对右陪集亦然;

只讨论左陪集;

若存在x∈aH∩bH,则设x=ah1=bh2;

那么,对于任意ah(h∈H)有

由于,故对于任意y∈aH,y属于bH,反之亦然;

于是aH=bH;

对于右陪集亦然;

这个定理是说,随便找一个G的子群H,H的不相等的(左|右)陪集们不重不漏地包含了G的所有元素;

 

一个符号

记|G:H|表示G中H的不同右的个数,如,设1为G的子群,且只包含单位元,则|G:1|=|G|,即集合G的大小,也即群G的阶;

 

|G:H|=|G|/|H|(这里/是整除)

由于不存在ah1=ah2且h1≠h2(某个不给证明的消去律)所以,所有的H的陪集的大小都等于H的大小,

又由于定理1;

所以|G|=|H||G:H|,即|G:H|=|G|/|H|;

 

正经的定理2.(拉格朗日定理):若H是G的子群,则|G:1|=|G:H||H:1|;

好吧完全是上个引理的翻版么; 

还是要给一个证明:

(感谢度娘。。。证得什么玩意)

 

尽管我们之前的例子中的集合都是仿佛是数集,但是其实对群的大部分研究中,研究的都是集合为(元素是“抽象的事物”的集合)的群;

 如下面要讲的——

 

置换群

 

先讲置换;

 

 置换

一个有限集X的置换π是从该有限集映至自身的双射;

如果我们把G的元素从1到|X|编号,那么置换π可以看做一个1到|X|的一个排列;

(百度知道的一个说法)

其中第i个位置上的数设为,表示编号为i的元素变为编号为ai的元素;

记为:

或直接记为这里相当于,由于上种表达方法的第一排往往是1到|X|,便默认是1到|X|,然后把它省掉;

 

置换群:

置换的群;

有限集X的所有置换的个数为|X|!;

设他们构成集合,在这个集合上搭载运算·,表示对原序列依次进行这两个置换;

于是是个|x|!阶群,

因为该群包含了X的所有置换,而显然是其中一个,封闭;因为没有不可挽回的置换,故逆元存在;还有单位元,结合律存在......;

但是该计算不满足交换律

那么的子群显然也是群,记作(笔者真变态)

 

几个概念与定理:

 

轨道与等价类

原数列集合中的元素β,在置换群G中的所有置换中的像,构成的集合叫做β的轨道,记作,我们也称其为包括β的等价类;

 

稳定子群(集)与稳定化子

有限集X中某m个元素构成了X的一个子集A,置换群G中可以使A中所有元素不动的置换构成的子群叫做A的一个稳定子群,又称稳定集,记为

该定义在m=1时,需要特别关注,也就是有限集X中的元素k,置换群G中可以使元素k不动的置换构成的子群(对其他元素不做要求),记为Gk,我们也称其为k的稳定化子;

 

轨道-稳定集定理:

|kG|*|Gk|=|G|;

证明:

有限集X中的某元素k,其轨道为kG,稳定化子为Gk,设x∈kG ,集合Sx={$\pi$|$\pi$∈ G ,$\pi$(k)=x},

  1. 证明,若x≠y,设$\pi$1∈Sx,$\pi$2∈Sy,$\pi$1Gk与$\pi$2Gk无交
  2. 证明,对于任意$\pi$1$\pi$2∈Sx,陪集$\pi$1Gk=$\pi$2Gk;
  3. 于是|kG|=|G:Gk|,套用拉格朗日定理得证;

 

定理1.不相连轮换相乘时可以交换
(显然)
 
定理2.每个(非轮换)的置换都可表为不相连轮换之积;每个轮换都可表为对换之积,因此,每个置换都可表为对换之积

(参见《工程数学--线性代数同济》一书,第一章 行列式 §2 全排列及其逆序数)

 
定理3.每个置换表成对换的乘积时,其对换个数的奇偶性不变
(参见《工程数学--线性代数同济》一书,第一章 行列式 §2 全排列及其逆序数)
(书大概长这样)
 

Burnside引理:

G是目标集[1,n]上的置换群 
c(fi)是在置换fi用下不动点的个数(即,fi属于几个稳定化子?),也就是长度为1的循环的个数。通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属于同一个等价类。若G将[1,n]划分成L个等价类,则:

$$L={1\over |G|}\sum_{i=1}^{|G|}c(f_i)$$

证明:

设目标集中的元素i,其轨道为iG,稳定化子为Gi

整理上式:

$$L={1\over |G|}\sum_{i=1}^n|G_i|$$

$$L=\sum_{i=1}^n{|G_i|\over |G|}$$

由轨道-稳定集定理变形,得

$$L=\sum_{i=1}^n{1\over i^G}$$

再通过轨道和等价类的定义,即可发现上式成立,于是本引理成立;

证毕;

 

需要指出的是,Burnside引理的表述方法显得更具有一般性,

在她的表述中存在1目标集2置换群3等价类,

注意等价类个数是对于目标集而言的;

如在问题“给出一个正方形,一个旋转群,两种颜色,用两种颜色染正方形的四个角,问有几种在旋转群作用下不同的染法”中

当我们使用Burnside引理思考时,

由于等价类个数这个概念是有几种本质不同的方形,

于是等价类是对于每一个整个正方形而言的,

所以目标集是给所有在不旋转时不同的染色情况编号,

然后还要把旋转群转换为目标集上的置换群(若情况1在旋转a的作用下变为情况2,则置换a使1变为2...)

然后套用该引理即可;

 

Polya定理:

设G是目标集[1,n]上的置换群,设X是以目标集的排列为元素的集合。
m(fi)是在置换fi的作用下循环节的个数,通过上述置换的变换操作后X中可以相等的元素属于同一个等价类。若G将[1,n]用k种颜色分别进行染色,然后把X划分成L个等价类,则染色后的等价类个数L为:

$$L=\sum_{i=1}^{|G|}k^{m(f_i)}$$

 (未完待续)

posted @ 2017-06-16 18:57  F.W.Nietzsche  阅读(4823)  评论(0编辑  收藏  举报