图论——欧拉通路、欧拉回路（有向图无向图混合图）

之前稍微了解有向图、无向图、混合图的欧拉通路、欧拉回路，这里做下笔记，以便日后翻阅。

 

 

无向图：

存在欧拉回路的条件：原图连通，每个结点均为偶度结点。

存在欧拉通路的条件：存在欧拉回路，或原图连通，有两个结点为奇度结点，其他结点均为偶度结点。

 

有向图：

存在欧拉回路的条件：基图连通，每个结点的入度等于出度。

存在欧拉通路的条件：存在欧拉回路，或基图连通，有一个结点入度等于出度+1，有一个结点出度等于入度+1，其他结点的入度等于出度。

 

混合图：

存在欧拉回路的条件：

1.将无向边随便定向，每个结点的入度与出度之差为偶数。

2.进行网络流，若满流，则存在欧拉回路。

（网络流构图：忽略有向边。对于随便定向的无向边，按照所定向连边，流量为1 。对于入度大于出度的点u，连边（u，T），流量为 abs( (in[u]-out[u])/2 )。对于出度大于入度的点v，连边（S，v），流量为abs( (in[v]-out[v])/2 )）。

 

存在欧拉通路的条件：存在欧拉回路，或

1.将无向边随便定向，有两个结点的入度与出度之差为奇数，其他结点的入度与出度之差为偶数。

2.在两个奇度结点间连一条无向边，进行网络流，若满流，则存在欧拉通路。

（网络流构图：忽略有向边。对于随便定向的无向边，按照所定向连边，流量为1 。对于入度大于出度的点u，连边（u，T），流量为 abs( (in[u]-out[u])/2 )。对于出度大于入度的点v，连边（S，v），流量为abs( (in[v]-out[v])/2 )）。

 

 

混合图的求解过程其实是，无向边有向化，求解有向图的欧拉路。

而求解有向图、无向图的欧拉路类似队列搜。

 

以上，有错望指出。