树状数组

首先对于树状数组和线段树做一对比:在很多的情况下,线段树都可以用树状数组实现.凡是能用树状数组的一定能用线段树.当题目不满足减法原则的时候,就只能用线段树,不能用树状数组.例如数列操作如果让我们求出一段数字中最大或者最小的数字,就不能用树状数组了。

树状数组:

树状数组是对一个数组改变某个元素和求和比较实用的数据结构。两中操作都是O(logn)。  在解题过程中,我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。但是不难发现,如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。可以说,每次修改A[i]后,调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。当n非常大时,程序会运行得非常缓慢。因此,这里我们引入“树状数组”,它的修改与求和都是O(logn)的,效率非常高。

【理论】 为了对树状数组有个形 象的认识,我们先看下面这张图。

如图所示,红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。 这里,C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和,而k则是i在二进制时末尾0的个数, 或者说是i用2的幂方和表示时的最小指数。( 当然,利用位运算,我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) )同时,我们也不难发现,这个k就是该节点在树中的高度,因而这个树的高度不会超过logn。 所以,当我们修改A[i]的值时,可以从C[i]往根节点一路上溯,调整这条路上的所有C[]即可,这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。  另外,对于求数列的前n项和,只需找到n以前的所有最大子树,把其根节点的C加起来即可。不难发现,这些子树的数目是n在二进制时1的个数,或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,因此,求和操作的复杂度也是O(logn)。 接着,我们考察这两种操作下标变化的规律:首先看修改操作: 已知下标i,求其父节点的下标。 我们可以考虑对树从逻辑上转化:

如图,我们将子树向右对称翻折,虚拟出一些空白结点(图中白色),将原树转化成完全二叉树。有图可知,对于节点i,其父节点的下标与翻折出的空白节点下标相同。因而父节点下标 p=i+2^k  (2^k是i用2的幂方和展开式中的最小幂,即i为根节点子树的规模)即  p = i + i&(i^(i-1)) 。接着对于求和操作:因为每棵子树覆盖的范围都是2的幂,所以我们要求子树i的前一棵树,只需让i减去2的最小幂即可。即  p = i - i&(i^(i-1)) 。至此,我们已经比较详细的分析了树状数组的复杂度和原理。在最后,我们将给出一些树状数组的实现代码,希望读者能够仔细体会其中的细节。

【代码】求最小幂2^k:

int Lowbit(int t) 
{ 
    return t & ( t ^ ( t - 1 ) ); 
} 

  求前n项和:

int Sum(int end) 
{ 
    int sum = 0; 
    while(end > 0) 
    { 
        sum += in[end]; 
        end -= Lowbit(end); 
    } 
    return sum; 
} 

对某个元素进行加法操作: 

void plus(int pos , int num) 
{ 
    while(pos <= n) 
    { 
          in[pos] += num; 
          pos += Lowbit(pos); 
    } 
} 

 

 

 

 

 

 

posted on 2012-11-17 19:11  NewPanderKing  阅读(624)  评论(0编辑  收藏  举报

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