\gamma = 2\min _ { i } \frac { 1} { \| w \| } | w ^ { T } x _ { i } + b |
那么最终的优化目标就是:
\begin{array} { r l }
{\max _ { w ,b } \min _ { i }} & {\frac { 2} { \| w \| } | w ^ { T } x _ { i } + b |} \\
{\text{s.t.}} & {y _ { i } ( w ^ { T } x _ { i } + b ) > 0,\quad i = 1,2,\dots ,m}
\end{array}
\left.\begin{array} { l } { \min _ { w ,b } \frac { 1} { 2} w ^ { T } w } \\ { \text{ s.t } \quad y _ { i } \left( w ^ { T } x _ { i } + b \right) \geq 1,\quad i = 1,2,\dots ,m } \end{array} \right.
h(x)= \sum _ { i = 1} ^ { n } \alpha _ { i } y ^ { ( i ) } \left\langle x ^ { ( i ) } ,x \right\rangle + b
也就是说如果新来了一个样本,我们要判断类别的话,只要和原来样本集中的点做内积计算即可。
回到刚才的问题上来,我们想把样本集映射到更高维度的空间上。假设函数中的我们做了内积运算\langle x ^ { ( i ) } ,x\rangle得到了一个值。所以要做的就是把x映射到更高维的空间再做内积运算即可。
如果\phi ( x )表示的是对向量x的一个映射,那么定义核函数k就是:
K ( x ,z ) = \phi ( x ) ^ { T } \phi ( z )
比如我们一个核函数为:
K ( x ,z ) = \left( x ^ { T } z \right) ^ { 2}
即:
\left.\begin{aligned} K ( x ,z ) & = \left( \sum _ { i = 1} ^ { n } x _ { i } z _ { i } \right) \left( \sum _ { j = 1} ^ { n } x _ { j } z _ { j } \right) \\ & = \sum _ { i = 1} ^ { n } \sum _ { j = 1} ^ { n } x _ { i } x _ { j } z _ { i } z _ { j } \\ & = \sum _ { i ,j = 1} ^ { n } \left( x _ { i } x _ { j } \right) \left( z _ { i } z _ { j } \right) \end{aligned} \right.
那么\phi ( x )的映射就是:
\phi ( x ) = \left[ \begin{array} { c } { x _ { 1} x _ { 1} } \\ { x _ { 1} x _ { 2} } \\ { x _ { 1} x _ { 3} } \\ { x _ { 2} x _ { 1} } \\ { x _ { 2} x _ { 1} } \\ { x _ { 2} x _ { 1} } \\ { x _ { 2} x _ { 2} } \\ { x _ { 3} x _ { 2} } \\ { x _ { 3} x _ { 3} } \end{array} \right]
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