数论—进位制
最近学了点数论的知识，关于进位制方面的。
1， 进位制
进位制已经很了解了，需要注意的就是两种进位制相互转化的问题了，但是相关的问题还是很多，要充分理解进制的概念，熟悉进制的表达。
2，快速幂取模
求： a^b mod c 的值
解：首先要知道，a^b mod c = [ (a mod c)^b ] mod c
直接枚举1~b的话必然会超时，我们就分类讨论一下:
a^b mod c = [ (a^2) mod c ]^(b div 2) mod c c为偶数
a^b mod c = [ (a^2) mod c ]^(b div 2)*a mod c c为奇数
很明显，时间复杂度降到了log(b)的级别，即使在b很大的时候也能快速求解。
由此可以得到伪代码如下：
1 scanf(“%d%d%d”,&a,&b,&c); 2 a%=c; ans=1; 3 4 while (b>0) { 5 if (b%2==1) ans= (ans*a) % c; 6 b/=2; a=(a*a) % c; 7 } 8 9 printf(“%d\n”,ans);
【例题一】自动取款机（黑皮书P225）
对于每个取款机设定一个状态a[i]表示在第i个取款机上是否进行了操作，1为真，0为假，那么一共需要支付的钱就是：∑a[i]*(-2)^i
在形式上我们可以想到的就是2进制数字，不过这个应该是个-2进制
也就是说我们要取出的钱是tot的话，那么把他转化成-2进制数每一位上对应的就是是否对当前取款机进行操作，也就是数组a[i]的值
另外，十进制转化成-2进制数字：
1，正数 --- 除2取余数，原数除2变负数
2，负偶数 --- 原数变成正数后除2
3，负奇数 –- 原数变成正数加1后除2，余数为1
==》遇到这类的问题，我们都应该先尽量想出求和的公式，就像这题，应该先找出取出钱数和的总公式，然后才可能发现规律。
【例题二】人类学家的烦恼（黑皮书P226）
前面的那部分数字假设是X ，那么后面的那一段应该是0…0到9…9，也就是说原数应该是X*10^n到(X+1)*(10^n)-1之间的
两边同时取以2为底的对数，可以得到：
Log2(X)+n*log2(10) ≤ E ≤ log2(X+1)+n*log2(10) 可以通过枚举n的值来得到这个E的最小值。
==》求数字的题目想办法把这个数字用其余变量表示出来，然后再考虑进一步求解。
【课后习题】
2.2.4反素数
要求不超过N的最大反素数，实际上就是求1~N之间约数最多的数
首先应该知道的是，反素数的质因数必然是连续的质数，因为如果有不连续的，必然存在至少一个比它小的数字，和它的质因子数一样!（使用了它不连续的那个跳过的数字）。
其次，对于这个数字X=πai^ti，其中ai是各个质数，必然有t1≥t2≥…≥tn,因为后面的数字多乘几次得到的数字一定比前面的数字大，那么前面一定有因子个数大于等于他的数字，就不可能是反素数。
由这两个条件可以进行搜索，枚举每一个质数的个数（要求递减），得到答案。
