自适应学习率调整：AdaDelta

Reference：ADADELTA: An Adaptive Learning Rate Method

超参数

超参数（Hyper-Parameter)是困扰神经网络训练的问题之一，因为这些参数不可通过常规方法学习获得。

神经网络经典五大超参数:

学习率(Leraning Rate)、权值初始化(Weight Initialization)、网络层数(Layers)

单层神经元数(Units)、正则惩罚项（Regularizer|Normalization)

这五大超参数使得神经网络更像是一门实践课，而不是理论课。

懂神经网络可能只要一小时，但是调神经网络可能要几天。

因此，后来Vapnik做SVM支持向量机的时候，通过巧妙的变换目标函数，避免传统神经网络的大部分超参数，

尤其是以自适应型的支持向量替代人工设置神经元，这使得SVM可以有效免于过拟合之灾。

传统对抗这些超参数的方法是经验规则（Rules of Thumb)。

这几年，随着深度学习的推进，全球神经网络研究者人数剧增，已经有大量研究组着手超参数优化问题：

★深度学习先锋的RBM就利用Pre-Traning自适应调出合适的权值初始化值。

★上个世纪末的LSTM长短期记忆网络，可视为“神经网络嵌套神经网络”，自适应动态优化层数。

★2010年Duchi et.al 则推出AdaGrad，自适应来调整学习率。

自适应调整学习率的方法，目前研究火热。一个经典之作，是 Matthew D. Zeiler 2012年在Google实习时，

提出的AdaDelta。

Matthew D. Zeiler亦是Hinton的亲传弟子之一，还是商业天才，大二时办了一个公司卖复习旧书。

Phd毕业之后，创办了Clarifai，估值五百万刀。参考[知乎专栏]

Clarifai的杰出成就是赢得了ImageNet 2013冠军，后来公布出CNN结构的时候，Caffe、Torch之类

的框架都仿真不出他在比赛时候跑的结果，应该是用了不少未公布的黑科技的。

再看他2012年提出的AdaDelta，肯定是用在的2013年的比赛当中，所以后来以普通方式才无法仿真的。

梯度更新

2.1 [一阶方法] 随机梯度

SGD(Stochastic Gradient Descent)是相对于BGD(Batch Gradient Descent)而生的。

BGD要求每次正反向传播，计算所有Examples的Error，这在大数据情况下是不现实的。

最初的使用的SGD，每次正反向传播，只计算一个Example，串行太明显，硬件利用率不高。

后续SGD衍生出Mini-Batch Gradient Descent，每次大概推进100个Example，介于BGD和SGD之间。

现在，SGD通常是指Mini-Batch方法，而不是早期单Example的方法。

一次梯度更新，可视为：

$x_{t+1}=x_{t}+\Delta x_{t} \quad where \quad  \Delta x_{t}=-\eta \cdot g_{t}$

$x$为参数，$t$为时序，$\Delta$为更新量，$\eta$为学习率，$g$为梯度

2.2 [二阶方法] 牛顿法

二阶牛顿法替换梯度更新量：

$\Delta x_{t}=H_{t}^{-1} \cdot g_{t}$

$H$为参数的二阶导矩阵，称为Hessian矩阵。

牛顿法，用Hessian矩阵替代人工设置的学习率，在梯度下降的时候，可以完美的找出下降方向，

不会陷入局部最小值当中，是理想的方法。

但是，求逆矩阵的时间复杂度近似$O(n^{3})$，计算代价太高，不适合大数据。

常规优化方法

3.1 启发式模拟退火

早期最常见的手段之一就是模拟退火。当然这和模拟退火算法没有半毛钱关系。

引入一个超参数(常数)的退火公式：

$\eta_{t}=\frac{\eta _{0}}{1+d\times t}$

$\eta _{0}$为初始学习率，$d$为衰减常数，通常为$10^{-3}$

模拟退火基于一个梯度法优化的事实：

在优化过程中，Weight逐渐变大，因而需要逐渐减小学习率，保证更新平稳。

3.2 动量法

中期以及现在最普及的就是引入动量因子：

$\Delta x_{t}=\rho \Delta x_{t-1}-\eta \cdot g_{t}$

$\rho$为动量因子，通常设为0.9

在更新中引入0.9这样的不平衡因子，使得：

★在下降初期，使用前一次的大比重下降方向，加速。

★在越过函数谷面时，异常的学习率，会使得两次更新方向基本相反，在原地”震荡“

此时，动量因子使得更新幅度减小，协助越过函数谷面。

★在下降中后期，函数面局部最小值所在的吸引盆数量较多，一旦陷进吸引盆当中，

$Gradient \rightarrow 0$，但是前后两次更新方向基本相同。

此时，动量因子使得更新幅度增大，协助跃出吸引盆。

3.3  AdaGrad

AdaGrad思路基本是借鉴L2 Regularizer，不过此时调节的不是$W$，而是$Gradient$:

$\Delta x_{t}=-\frac{\eta }{\sqrt{\sum_{\tau=1}^{t}(g_{\tau})^{2}}}\cdot g_{t}$

AdaGrad过程，是一个递推过程，每次从$\tau=1$，推到$\tau=t$，把沿路的$Gradient$的平方根，作为Regularizer。

分母作为Regularizer项的工作机制如下：

★训练前期，梯度较小，使得Regularizer项很大，放大梯度。[激励阶段]

★训练后期，梯度较大，使得Regularizer项很小，缩小梯度。[惩罚阶段]

另外，由于Regularizer是专门针对Gradient的，所以有利于解决Gradient Vanish/Expoloding问题。

所以在深度神经网络中使用会非常不错。

当然，AdaGrad本身有不少缺陷：

★初始化W影响初始化梯度，初始化W过大，会导致初始梯度被惩罚得很小。

此时可以人工加大$\eta$的值，但过大的$\eta$会使得Regularizer过于敏感，调节幅度很大。

★训练到中后期，递推路径上累加的梯度平方和越打越多，迅速使得$Gradinet$被惩罚逼近0，提前结束训练。

AdaDelta

AdaDelta基本思想是用一阶的方法，近似模拟二阶牛顿法。

4.1 矩阵对角线近似逆矩阵

1988年，[Becker&LeCun]提出一种用矩阵对角线元素来近似逆矩阵的方法：

$\Delta x_{t}=-\frac{1}{\left | diag(H_{t}) \right |+\mu }\cdot g_{t}$

$diag$指的是构造Hessian矩阵的对角矩阵，$\mu$是常数项，防止分母为0。

2012年，[Schaul&S. Zhang&LeCun]借鉴了AdaGrad的做法，提出了更精确的近似：

$\Delta x_{t}=-\frac{1}{\left | diag(H_{t}) \right |}\frac{E[g_{t}-w:t]^{2}}{E[g_{t}^{2}-w:t]}\cdot g_{t}$

$E[g_{t}-w:t]$指的是从当前t开始的前w个梯度状态的期望值。

$E[g_{t}^{2}-w:t]$指的是从当前t开始的前w个梯度状态的平方的期望值。

同样是基于Gradient的Regularizer，不过只取最近的w个状态，这样不会让梯度被惩罚至0。

4.2 窗口和近似概率期望

计算$E[g_{t}-w:t]$，需要存储前w个状态，比较麻烦。

AdaDelta使用了类似动量因子的平均方法：

$E[g^{2}]_{t}=\rho E[g^{2}]_{t-1}+(1-\rho )g_{t}^{2}$

当$\rho=0.5$时，这个式子就变成了求梯度平方和的平均数。

如果再求根的话，就变成了RMS(均方根)：

$RMS[g]_{t}=\sqrt{E[g^{2}]_{t}+\epsilon }$

再把这个RMS作为Gradient的Regularizer：

$\Delta x_{t}=-\frac{\eta}{RMS[g]_{t}}\cdot g_{t}$

其中，$\epsilon$是防止分母爆0的常数。

这样，就有了一个改进版的AdaGrad。

该方法即Tieleman&Hinton的RMSProp，由于RMSProp和AdaDelta是同年出现的，

Matthew D. Zeiler并不知道这种改进的AdaGrad被祖师爷命名了。

RMSProp利用了二阶信息做了Gradient优化，在BatchNorm之后，对其需求不是很大。

但是没有根本实现自适应的学习率，依然需要线性搜索初始学习率，然后对其逐数量级下降。

另外，RMSProp的学习率数值与MomentumSGD差别甚大，需要重新线性搜索初始值。

注：$\epsilon$的建议取值为1，出处是Inception V3，不要参考V3的初始学习率。

4.3 Hessian方法与正确的更新单元

Zeiler用了两个反复近似的式子来说明，一阶方法到底在哪里输给了二阶方法。

首先，考虑SGD和动量法：

$\Delta x \propto g\propto \frac{\partial f}{\partial x} \propto \frac{1}{x}$

$\Delta x$可以正比到梯度$g$问题，再正比到一阶导数。而$log$一阶导又可正比于$\frac{1}{x}$。

再考虑二阶导Hessian矩阵法：

这里为了对比观察，使用了[Becker&LeCun 1988]的近似方法，让求逆矩阵近似于求对角阵的倒数：

$\Delta x \propto H^{-1}g\propto \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}}\propto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}*\frac{1}{x}}\propto x$

$\Delta x$可以正比到Hessian逆矩阵$H^{-1}\cdot g$问题，再正比到二阶导数。而$log$二阶导又可正比于$x$。

可以看到，一阶方法最终正比于$\frac{1}{x}$，即与参数逆相关：参数逐渐变大的时候，梯度反而成倍缩小。

而二阶方法最终正比于$x$，即与参数正相关：参数逐渐变大的时候，梯度不受影响。

因此，Zeiler称Hessian方法得到了Correct Units(正确的更新单元)。

4.4 由Hessian方法推导出一阶近似Hessian方法

基于[Becker&LeCun 1988]的近似方法，有：

$\Delta x \approx  \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}}$

进而又有：

$\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}}=\frac{1}{\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}}\cdot \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}}\cdot g_{t}$

简单收束变形一下, 然后用RMS来近似：

$\frac{1}{\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}}=\frac{\Delta x}{\frac{\partial f}{\partial x}}\approx -\frac{RMS[\Delta x]_{t-1}}{RMS[g]_{t}}$

最后，一阶完整近似式：

$\Delta x= -\frac{RMS[\Delta x]_{t-1}}{RMS[g]_{t}}\cdot g_t$

值得注意的是，使用了$RMS[\Delta x]_{t-1}$而不是$RMS[\Delta x]_{t}$，因为此时$\Delta x_{t}$还没算出来。

4.5 算法流程

$\quad\quad\quad\qquad\qquad\qquad ALGORITHM:ADADELTA\\\\\\\\Require:DecayRate \,\rho \, ,Constant \,\,\epsilon \\Require:InitialParam \,\,x_{1} \\1: \quad Initialize\,\,accumulation \,\,variables \,\,E[g^{2}]_{0}=E[\Delta x^{2}]_{0=0} \\2: \quad For \,\,t=1:T \,\, do \,\, Loop \,\, all \,\,updates \\3: \quad \quad Compute \,\,Gradients:g_{t} \\4: \quad \quad Accumulate \,\, Gradient:E[g^{2}]_{t}=\rho E[g^{2}]_{t-1}+(1-\rho )g_{t}^{2} \\5: \quad \quad Compute \,\,Update:\Delta x= -\frac{RMS[\Delta x]_{t-1}}{RMS[g]_{t}}\cdot g_t \\6: \quad \quad Accumulate \,\, Updates:E[\Delta x^{2}]_{t}=\rho E[\Delta x^{2}]_{t-1}+(1-\rho )\Delta x^{2} \\7: \quad \quad Apply \,\,Update:x_{t+1}=x_{t}+\Delta x_{t} \\8: \quad End \,\,For$

4.6 Theano实现

论文中，给出的两个超参数的合适实验值。

$\rho=0.95 \quad\quad \epsilon=1e-6$

Theano的实现在LSTM的教学部分，个人精简了一下：

def AdaDelta(tparams,grads):
    p=0.95;e=1e-6
    # init
    delta_x2=[theano.shared(p.get_value() * floatX(0.)) for k, p in tparams.iteritems()]
    g2 = [theano.shared(p.get_value() * floatX(0.)) for k, p in tparams.iteritems()]
    # first to update g2
    update_g2=[(g2, p * g2 + (1-p) * (g ** 2)) for g2, g in zip(g2, grads)]
    fn_update_1=theano.function(inputs=[],updates=update_g2)
    #calc delta_x by RMS
    delta_x=[-T.sqrt(delta_x2_last + e) / T.sqrt(g2_now + e) * g for g, delta_x2_last, g2_now in zip(grads,delta_x2,g2)]
    # then to update delta_x2 and param
    update_delta_x2=[(delta_x2, p * delta_x2 + (1-p) * (delta_x ** 2)) for delta_x2, delta_x in zip(delta_x2, delta_x)]
    update_param=[(param, param + delta) for param, delta in zip(tparams.values(), delta_x)]
    fn_update_2=theano.function(inputs=[],updates=update_delta_x2+update_param)
    #return the update function of theano
    return fn_update_1, fn_update_2

 

4.7 Dragon(Caffe)实现

默认代码以我的Dragon框架为准，对Caffe代码进行了重写。

//    hpp文件
template <typename Dtype>
class AdaDeltaSolver :public SGDSolver < Dtype > {
public:
    AdaDeltaSolver(const SolverParameter& param) :SGDSolver<Dtype>(param)    { }
    AdaDeltaSolver(const string& param_file) :SGDSolver<Dtype>(param_file)    { }
protected:
    virtual void computeUpdateValue(int param_id, Dtype rate);
    virtual void applyUpdate();
};


//    cpp文件
#include "gradient_solver.hpp"
template <typename Dtype>
void AdaDeltaSolver<Dtype>::computeUpdateValue(int param_id, Dtype rate){
    Blob<Dtype>* net_param = net->getLearnableParams()[param_id];
    const Dtype lr_mult = net->getLrMults()[param_id];
    Dtype eps = param.delta();
    Dtype momntum = param.momentum();
    // adadelta will ignore base_lr
    Dtype lr = lr_mult;
    const int count = net_param->count();
    switch (Dragon::get_mode()){
    case Dragon::CPU:
        //    history store for E[g^2]
        //    update store for E[delta^2]
        //    history=momentum*history + (1-momentum)*(diff^2)
        //    1. compute diff^2 in temp
        dragon_powx<Dtype>(count, net_param->cpu_diff(), Dtype(2), temp[param_id]->mutable_cpu_data());
        //    2. compute history
        dragon_cpu_axpby<Dtype>(count, Dtype(1) - momntum, temp[param_id]->cpu_data(),
                momntum, history[param_id]->mutable_cpu_data());
        //    3. compute RMS[history] as denominator in temp
        dragon_set<Dtype>(count, eps, temp[param_id]->mutable_cpu_data());
        dragon_axpy<Dtype>(count, Dtype(1), history[param_id]->cpu_data(),temp[param_id]->mutable_cpu_data());
        dragon_powx<Dtype>(count, temp[param_id]->cpu_data(), Dtype(0.5), temp[param_id]->mutable_cpu_data());
        //    4. compute diff/RMS[history] in diff
        dragon_div<Dtype>(count, net_param->cpu_diff(), temp[param_id]->cpu_data(), net_param->mutable_cpu_diff());
        //    5. compute RMS[update] as numerator in temp
        dragon_set<Dtype>(count, eps, temp[param_id]->mutable_cpu_data());
        dragon_axpy<Dtype>(count, Dtype(1), update[param_id]->cpu_data(), temp[param_id]->mutable_cpu_data());
        dragon_powx<Dtype>(count, temp[param_id]->cpu_data(), Dtype(0.5), temp[param_id]->mutable_cpu_data());
        //    6. compute diff*RMS[update] in diff
        dragon_mul<Dtype>(count, net_param->cpu_diff(), temp[param_id]->cpu_data(), net_param->mutable_cpu_diff());
        //    7. compute final diff^2 in temp
        dragon_powx<Dtype>(count, net_param->cpu_diff(), Dtype(2), temp[param_id]->mutable_cpu_data());
        //    8. compute update
        dragon_cpu_axpby<Dtype>(count, (1 - momntum), temp[param_id]->cpu_data(),
            momntum, update[param_id]->mutable_cpu_data());
        //    9. apply learning rate
        dragon_scal<Dtype>(count, lr, net_param->mutable_cpu_diff());
        break;
    case Dragon::GPU:
#ifndef CPU_ONLY
        dragon_gpu_powx<Dtype>(count, net_param->gpu_diff(), Dtype(2), temp[param_id]->mutable_gpu_data());
        //    2. compute history
        dragon_gpu_axpby<Dtype>(count, Dtype(1) - momntum, temp[param_id]->gpu_data(),
            momntum, history[param_id]->mutable_gpu_data());
        //    3. compute RMS[history] as denominator in temp
        dragon_gpu_set<Dtype>(count, eps, temp[param_id]->mutable_gpu_data());
        dragon_gpu_axpy<Dtype>(count, Dtype(1), history[param_id]->gpu_data(), temp[param_id]->mutable_gpu_data());
        dragon_gpu_powx<Dtype>(count, temp[param_id]->gpu_data(), Dtype(0.5), temp[param_id]->mutable_gpu_data());
        //    4. compute diff/RMS[history] in diff
        dragon_gpu_div<Dtype>(count, net_param->gpu_diff(), temp[param_id]->gpu_data(), net_param->mutable_gpu_diff());
        //    5. compute RMS[update] as numerator in temp
        dragon_gpu_set<Dtype>(count, eps, temp[param_id]->mutable_gpu_data());
        dragon_gpu_axpy<Dtype>(count, Dtype(1), update[param_id]->gpu_data(), temp[param_id]->mutable_gpu_data());
        dragon_gpu_powx<Dtype>(count, temp[param_id]->gpu_data(), Dtype(0.5), temp[param_id]->mutable_gpu_data());
        //    6. compute diff*RMS[update] in diff
        dragon_gpu_mul<Dtype>(count, net_param->gpu_diff(), temp[param_id]->gpu_data(), net_param->mutable_gpu_diff());
        //    7. compute final diff^2 in temp
        dragon_gpu_powx<Dtype>(count, net_param->gpu_diff(), Dtype(2), temp[param_id]->mutable_gpu_data());
        //    8. compute update
        dragon_gpu_axpby<Dtype>(count, Dtype(1) - momntum, temp[param_id]->gpu_data(),
            momntum, update[param_id]->mutable_gpu_data());
        //    9. apply learning rate
        dragon_gpu_scal<Dtype>(count, lr, net_param->mutable_gpu_diff());
#endif
        break;
    default:LOG(FATAL) << "Unknown mode: " << Dragon::get_mode();
    }
}

template <typename Dtype>
void AdaDeltaSolver<Dtype>::applyUpdate(){
    CHECK(Dragon::get_root_solver());
    Dtype rate = getLearningRate();
    //    AdaDelta do not need base lr
    if (param.display() && iter%param.display() == 0)
        LOG(INFO) << "Iteration " << iter << ", lr = AdaDelta";
    clipGradients();
    vector<Blob<Dtype>*> net_params = net->getLearnableParams();
    for (int i = 0; i < net_params.size(); i++){
        normalize(i);
        regularize(i);
        computeUpdateValue(i, rate);
        net_params[i]->update();
    }
}

INSTANTIATE_CLASS(AdaDeltaSolver);

AdaDelta的缺陷

局部最小值

从多个数据集情况来看，AdaDelta在训练初期和中期，具有非常不错的加速效果。

但是到训练后期，进入局部最小值雷区之后，AdaDelta就会反复在局部最小值附近抖动。

主要体现在验证集错误率上，脱离不了局部最小值吸引盆。

这时候，切换成动量SGD，如果把学习率降低一个量级，就会发现验证集正确率有2%~5%的提升，

这与常规使用动量SGD，是一样的。

之后再切换成AdaDelta，发现正确率又退回去了。

再切换成动量SGD，发现正确率又回来了。

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注：使用Batch Norm之后，这样从AdaDelta切到SGD会导致数值体系崩溃，原因未知。

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个人猜测，人工学习率的量级降低，给训练造成一个巨大的抖动，从一个局部最小值，

抖动到了另一个局部最小值，而AdaDelta的二阶近似计算，或者说所有二阶方法，

则不会产生这么大的抖动，所以很难从局部最小值中抖出来。

这给追求state of art的结果带来灾难，因为只要你一直用AdaDelta，肯定是与state of art无缘的。

基本上state of art的结果，最后都是SGD垂死挣扎抖出来的。

这也是SGD为什么至今在state of art的论文中没有废除的原因，人家丑，但是实在。

精度

eps的数值不是固定的。

1e-6在Caffe Cifar10上就显得过小了，1e-8比较适合。

这意味着不同数值比例体系，精度需要人工注意。

paper里高精度反而没低精度好，说明精度也有比较大抖动。

so，究竟什么样的精度是最好的呢？

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2016.5.19 更新：

在FCNN-AlexNet里，1e-8在epoch1之后就会产生数值问题。

原因是sqrt(1e-8)*grad很大，这时候1e-10是比较好的。

另外，DensePrediction一定要做normalize，否则也有可能让AdaDelta的迭代步长计算出现数值问题。

该问题在FCNN-AlexNet进行到epoch5左右时候开始明显化。

caffe默认给的1e-10实际上要比paper里的1e-6要相对robust。