Long-Short Memory Network(LSTM长短期记忆网络)
自剪枝神经网络
Simple RNN从理论上来看，具有全局记忆能力，因为T时刻，递归隐层一定记录着时序为1的状态
但由于Gradient Vanish问题，T时刻向前反向传播的Gradient在T-10时刻可能就衰减为0。
从Long-Term退化至Short-Term。
尽管ReLU能够在前馈网络中有效缓解Gradient Vanish，但RNN的深度过深，替换激活函数治标不治本。
$\left | \prod_{j=p+1}^{t}\frac{\partial b_{h}^{j}}{\partial b_{h}^{j-1}}\right |\leqslant (\beta_{W}\cdot\beta_{h})^{t-p} \quad where \quad \beta =UpperBound$
上式中指明的根源所在，由于W和h两个矩阵多次幂导致受数值影响敏感，简而言之就是深度过大。
大部分Long-Term情况下，不需要提供路径上完整的信息，但反向传播还是循规蹈矩地穿过这些冗深度。
解决方案之一是，设置可自主学习的参数来屏蔽掉这些无用的信息，与"降维"相似，这种方法叫"降层"
神经网络的剪枝策略很简单，就是添加参数矩阵，经过一定周期的学习，选择性屏蔽掉输入，精简网络。
从结构上来看，类似“树套树”，就是”神经网络套神经网络“。
动态门结构
简单概括：
★LSTM将RNN的输入层、隐层移入Memory Cell加以保护
★Input Gate、Forget Gate、Output Gate，通过训练参数，将Gate或开(置1)或闭(置0)，保护Cell。
在时序展开图上则更加清晰：
公式定义
原版LSTM最早在[Hochreiter&Schmidhuber 97]提出。
今天看到的LSTM是[Gers 2002]改良过的 extended LSTM。
extended LSTM扩展内容：
★Forget Gate，用于屏蔽t-1以及之前时序信息。
在时序展开图上，由左侧锁住以保护Cell。
★三态门控：
97年提出的Gate输入类似RNN，分为两态Weight矩阵：
☻Wx——序列输入信息
☻Wh——递归隐态输入信息
2002年补充了第三态：
☻Wc——递归Cell态输入信息
将Cell的时序状态引入Gate，称为Peephole Weights。
唯一作用似乎是提升LSTM精度，Alex Graves的博士论文中这么说：
The peephole connections,meanwhile, improved the LSTM’s ability to learn tasks that require precise
timing and counting of the internal states.
具体实现的时候，为了增加计算效率，可以忽视：
Theano的Tutorial中这么说道：
The model we used in this tutorial is a variation of the standard LSTM model.
In this variant, the activation of a cell’s output gate does not depend on the memory cell’s state 
.
This allows us to perform part of the computation more efficiently (see the implementation note, below, for details).
而CS224D Lecture8中压根就没提。
所以双态Gate可能是更为主流的LSTM变种。
2.1 前向传播
输入门：
$i_{t}=Sigmoid(W_{i}x_{t}+U_{i}h_{t-1}+V_{i}C_{t-1})$ ①
遗忘门：
$f_{t}=Sigmoid(W_{f}x_{t}+U_{f}h_{t-1}+V_{f}C_{t-1})$ ②
输出门：
$O_{t}=Sigmoid(W_{o}x_{t}+U_{o}h_{t-1}+V_{o}C_{t})$ ③
原始Cell(RNN部分):
$\tilde{C_{t}}=Tanh(W_{c}x_{t}+U_{c}h_{t-1})$ ④
门套Cell：
$C_{t}=i_{t}\cdot\tilde{C_{t}}+f_{t}\cdot C_{t-1}$ (输入门+遗忘门) ⑤
$h_{t}=O_{t}\cdot Tanh(C_{t}) \quad where \quad h_{t}=FinalOutput$ (输出门) ⑥
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仔细观察①②③④，发现除了Peephole Weights引入的$V$阵，这四个式子是一样的。
Theano中为了GPU能够一步并行计算，没有使用Peephole Weights，这样①②③④就是一个基本并行模型：
以相同的代码，运算数据集在空间中的不同部分。
