费马小定理+快速幂

一、费马小定理

假如 a 是一个整数，p 是一个质数，那么是 p 的倍数，则可以表示为

               

eg : if a = 2 and p = 7, 2⁷ = 128, and 128 − 2 = 7 × 18 is an integer multiple of 7.

如果 a 不是 p 的倍数，则定理还可以表示为

              

For example, if a = 2 and p = 7 then 2⁶ = 64 and 64 − 1 = 63 is thus a multiple of 7.

 

二、费马小定理的应用

for example 

应用一：  a^b mod p 在b很大的时候可以先用b = b % (p-1)

计算  除以 13 的余数

故余数为 3 ；

 

应用二：  在阶乘中减去除法的操作。a^(p-2) = 1/a(mod p) 

 

三、有关费马小定理的推广

（1）欧拉定理

       费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果 n 和 a 的最大公约数是 1 那就说明

       

      这里 φ(n) 是欧拉函数

（2）卡迈克尔函数

       

      卡迈克尔函数比欧拉函数更小。费马小定理也是它的特殊情况。

 

四、快速幂取模算法

ll quickmod(ll a,ll b,ll m)
{
    ll ans=1;
    while(b) //用一个循环 从最右向左遍历所有 b 的所有二进制位
    {
        if(b&1)//位运算 按位与运算相当于 b%2==1 也就是判断bi是否为1
        {
            ans=(ans*a)%m;// 乘到结果上 这里的a是a^(2^i)%m
            b--;//把该位变零
        }
        b=b/2; //相当于计算接下来左边的二进制位
        a=a*a%m; //a随着b的移位不断放大
    }
    return ans;
}