[贪心入门]活动安排问题
有若干个活动,第i个开始时间和结束时间是[Si,fi),只有一个教室,活动之间不能交叠,求最多安排多少个活动?
分析: 我们就是想提高教室地利用率,尽可能多地安排活动。
考虑容易想到的几种贪心策略:
(1) 开始最早的活动优先,目标是想尽早结束活动,让出教室。
然而, 这个显然不行,因为最早的活动可能很长,影响我们进行后面的活动。例如活动开始和结束时间分别为[0, 100), [1,2) ,[2, 3), [3, 4),[4,5],安排[0,100)的这个活动之后,其他活动无法安排,可是最优解是安排除它外的4个活动。
(2) 短活动优先, 目标也是尽量空出教室。但是不难构造如下反例: [0,5) [5,10) [3, 7), 这里[3,7)最短,但如果我们安排了[3,7),其它两个无法安排了。但是最优解显然是安排其它两个,而放弃[3,7),可见这个贪心策略也是不行的。
[0,2) [2,4) [4,6) [6,8)
[1,3) [1,3) [1,3) [3,5) [5,7) [5,7) [5,7)
下面[1,3)和[5,7)每个都和5个活动冲突,
而[3,5)只和两个活动冲突——[2,4)和[4,6)。
那按照我们的策略应该先安排[3,5), 可是一旦选择了[3,5),我们最多只可能安排3个活动。
但明显第一行的4个活动都可以安排下来,所以这种策略也是不对的。
分析: 我们就是想提高教室地利用率,尽可能多地安排活动。
考虑容易想到的几种贪心策略:
(1) 开始最早的活动优先,目标是想尽早结束活动,让出教室。
然而, 这个显然不行,因为最早的活动可能很长,影响我们进行后面的活动。例如活动开始和结束时间分别为[0, 100), [1,2) ,[2, 3), [3, 4),[4,5],安排[0,100)的这个活动之后,其他活动无法安排,可是最优解是安排除它外的4个活动。
(2) 短活动优先, 目标也是尽量空出教室。但是不难构造如下反例: [0,5) [5,10) [3, 7), 这里[3,7)最短,但如果我们安排了[3,7),其它两个无法安排了。但是最优解显然是安排其它两个,而放弃[3,7),可见这个贪心策略也是不行的。
![](http://img.51nod.com/upload/000FBEC3/08D26C4E2960FA4F0000000000000012.png)
(3) 最少冲突的活动优先, 既然上面安排活动是想减少冲突,那么如果我们优先安排冲突最少的活动可以么?至少从(1)和(2)看来,这个策略是有效的。真是对的么? 尝试这个例子:
[0,2) [2,4) [4,6) [6,8)
[1,3) [1,3) [1,3) [3,5) [5,7) [5,7) [5,7)
![](http://img.51nod.com/upload/000FBEC3/08D26C4D01BD741D0000000000000011.png)
看一下[0,2) 和3个活动冲突——3个[1,3)
[2,4)和4个活动冲突3个[1,3)和一个[3,5)
[4,6)和也和4个活动冲突3个[5,7)和一个[3,5)
[6,8)和3个活动冲突——3个[5,7)
[4,6)和也和4个活动冲突3个[5,7)和一个[3,5)
[6,8)和3个活动冲突——3个[5,7)
下面[1,3)和[5,7)每个都和5个活动冲突,
而[3,5)只和两个活动冲突——[2,4)和[4,6)。
那按照我们的策略应该先安排[3,5), 可是一旦选择了[3,5),我们最多只可能安排3个活动。
但明显第一行的4个活动都可以安排下来,所以这种策略也是不对的。
(4) 看似最不对的策略——结束时间越早的活动优先。这个策略是有效的,我们可以证明。假设最优解OPT中安排了m个活动,我们把这些活动也按照结束时间由小到大排序,显然是不冲突的。假设排好顺序后,这些活动是a(1) , a(2), a(3)….am
假设按照我们的贪心策略,选出的活动自然是按照结束时间排好顺序的,并且也都是不冲突的,这些活动是b(1), b(2) …b(n)
问题关键是,假设a(1) = b(1), a(2) = b(2)…. a(k) = b(k),但是a(k+1) != b(k+1),回答几个问题:
(2)b(k+1)和a(1), a(2), …. a(k) 冲突么?
不冲突,因为a(1), a(2), …. a(k)就是b(1), b(2), …. b(k)
(3)b(k+1)和a(k+2), a(k+3), …. a(m)冲突么?
不冲突,因为f(b(k+1)) <= f(a(k+1)),而a(k+2), a(k+3), …. a(m)的开始时间都在f(a(k+1))之后,更在f(b(k+1))之后。
因此我们可以把a(k+1) 换成b(k+1), 从而最优解和我们贪心得到的解多了一个相同的,经过一个一个替换,我们可以把最优解完全替换成我们贪心策略得到的解。 从而证明了这个贪心策略的最优性。
假设按照我们的贪心策略,选出的活动自然是按照结束时间排好顺序的,并且也都是不冲突的,这些活动是b(1), b(2) …b(n)
问题关键是,假设a(1) = b(1), a(2) = b(2)…. a(k) = b(k),但是a(k+1) != b(k+1),回答几个问题:
(1)b(k+1)会在a(k+2), a(k+3), …. a(m)中出现么?
不会。因为b(k+1)的结束时间是最早的,即f(b(k+1)) <= f(a(k+1)),而a(k+2), a(k+3), …. a(m)的开始时间和结束时间都在f(a(k+1))之后,所以b(k+1)不在其中。
不会。因为b(k+1)的结束时间是最早的,即f(b(k+1)) <= f(a(k+1)),而a(k+2), a(k+3), …. a(m)的开始时间和结束时间都在f(a(k+1))之后,所以b(k+1)不在其中。
(2)b(k+1)和a(1), a(2), …. a(k) 冲突么?
不冲突,因为a(1), a(2), …. a(k)就是b(1), b(2), …. b(k)
(3)b(k+1)和a(k+2), a(k+3), …. a(m)冲突么?
不冲突,因为f(b(k+1)) <= f(a(k+1)),而a(k+2), a(k+3), …. a(m)的开始时间都在f(a(k+1))之后,更在f(b(k+1))之后。
因此我们可以把a(k+1) 换成b(k+1), 从而最优解和我们贪心得到的解多了一个相同的,经过一个一个替换,我们可以把最优解完全替换成我们贪心策略得到的解。 从而证明了这个贪心策略的最优性。
最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个算法,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。
输出示例
输入
第1行:1个数N,线段的数量(2 <= N <= 10000) 第2 - N + 1行:每行2个数,线段的起点和终点(-10^9 <= S,E <= 10^9)
输出
输出最多可以选择的线段数量。
输入示例
3 1 5 2 3 3 6
输出示例
2
1 n=int(input()) 2 a=[] 3 for i in range(n): 4 b=list(map(int,input().split())) 5 a.append(b) 6 a.sort(key=lambda i:i[1]) 7 ans=0 8 last_e=-100000000000 9 for i in a: 10 if last_e<=i[0]: 11 ans+=1 12 last_e=i[1] 13 print(ans)