Uva--12716（数论，枚举，xor）

2014-09-02 19:13:32

12716 GCD XOR
题意：输入整数n（1<=n<=3千万），有多少对整数（a，b）满足：1<=b<=a<=n，且gcd（a，b）=a XOR b。例如：n=7时，有4对：（3，2），(5,4），(6,4），(7,6）。

思路：第二版小白书例题，但是前两次交都是TLE。。。借鉴书里和别人的博客

 

　　有几个结论：（1）若 a xor b = c，则 a xor c = b。

　　　　　　　　（2）a - b <= a xor b，（a >= b)

　　　　　　　　（3）若 gcd（a，b）= a xor b = c ，（a >= b），由（2）得：a - b <= c。

　　　　　　　　　　  再令 a = k1×c，b = k2 × c，（k1 >= k2)，所以 a - b = （k1 - k2）× c，所以 a - b >= c。总：a - b = c

　　　　　　　　　　 （这里若k1 = k2，那么 a = b，那么 a xor b = 0）

　　然后就是怎么枚举的问题了，要保证计算量尽量小，如果枚举a，就要枚举a的所有因数，有些数因为可能是多个数的因数，会被重复考虑很多次。所以这里要枚举因数 c ，a = k × c（k >= 2) 这样每个因数只枚举一遍，再检验b。

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    > File Name: 12716.cpp
    > Author: Nature
    > Mail: 564374850@qq.com 
    > Created Time: Tue 02 Sep 2014 04:17:33 PM CST
************************************************************************/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int RA = 30000000;

int T,N;
int ans[RA + 5];

void Init(){
    int top = RA >> 1,b;
    for(int c = 1; c <= top; ++c){
        for(int a = c + c; a <= RA; a += c){
            b = a - c;
            if((a ^ b) == c) ++ans[a];
        }
    }
    for(int i = 2; i <= RA; ++i) ans[i] += ans[i - 1];
}

int main(){
    Init();
    scanf("%d",&T);
    for(int t = 1; t <= T; ++t){
        scanf("%d",&N);
        printf("Case %d: %d\n",t,ans[N]);
    }
    return 0;
}