Linear Algebra lecture4 note

Inverse of AB,A^(A的转置）

Product of elimination matrices  A=LU (no row exchanges)

 

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Inverse of AB,A^(A的转置）:

 

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Product of elimination matrices  A=LU (no row exchanges)

E32E31E21A=U (no row exchanges)    EA=U

A=E21`E31`E32`U

L表示下三角矩阵，lower triangle

D表示对角矩阵，diagonal triangle

A=LU

L=E21`E31`E32`

对比EA=U  &   A=LU，哪种形式更好一些？

example：

设E31为单位矩阵，

A=LU的形式更加简洁一些，if no row exchanges,  multipliers go directly into L

思考：How many operations on n * n Matrix(A)? 也就是多少数字改变了？

假设n=100，

row1 不改变，后续行消元，99*100次运算，约看作100*100次；

对第二行进行消元，98*99次运算，约看作99*99次；

继续…

所以总运算次数为

从积分角度考虑可得最终结果

若再考虑等式右侧的b，需要的运算量为

 

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Permutation

考虑单位矩阵的行变换，所有情况一一列出（共6种）

这6个矩阵好像构成了一个群，不论是乘还是逆运算，所得结果均在此群中，且满足条件

若是4维矩阵，则满足条件的、构成群的矩阵有4！=24个

若是n维矩阵，则满足条件的、构成群的矩阵有n！个