hdu 1066 Last non-zero Digit in N!
看得迷迷糊糊,还是一知半解啊…………
转帖:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_59e67e2c0100a7yx.html
首先引用下leemars的报告:
这道题要求N!的最后一个非0数字是多少,如果用一般作法,先统计2和5的个数,然
后补乘2,得到的将是TLE。所以还需要再做简化:
为了把0去掉,我们把所有的因数2和5都提出来,放到最后再处理。N!中的N个相乘的
数可以分成两堆:奇数和偶数。偶数相乘可以写成(2^M)*(M!),M=N DIV 2。M!可以
递归处理,因此现在只需讨论奇数相乘。考虑1*3*5*7*9*11*13*15*17* ... *N(如果
N为偶数则是N-1),这里面是5的倍数的有5,15,25,35,... ,可以其中的5提出来
,变成(5^P)*(1*3*5*7*9* ... ),后面括号中共P项,P=(N DIV 5+1) DIV 2,而后
面的括号又可以继续提5出来,递归处理。现在剩下的数是1 * 3 * 7 * 9 * 11 * 13
* 17 * 19 * ... 。这些数我们只需要他们的个位数,因为(1 * 3 * 9 * 11 * 13
* ... ) MOD 10 = (1 * 3 * 7 * 9 * 1 * 3 * ... ) MOD 10。我们列出余数表,
1 3 1 9 9 7 9 1 1 3 1 9 9 7 9 ……。我们发现每八项MOD 10的结果是一个循环。
算出奇数的结果后,我们再回头看统计了多少个2和5需要乘入。把2和5配对完都是N
!后面的0,看剩下的2有几个。如果有剩下的2,考虑2^N的个位数又是2 4 8 6 2 4
8 6 ……每四项一个循环,找出这个个位数后,和前面的结果相乘,再取个位数就是
答案。由于我们完全把2和5的因素另外处理,所以在所有的乘法中,都只需要计算个位数乘法,并且只保留个位数的结果。
但让我很惊异的是:为什么我提交总是WA?后来我才知道,原因是这道题的N相当大
!达到了10^100!要用大数来处理!GPC四项编译开关全关的,自然查不出来!而且
上面这个算法换成大数后会很麻烦。还有什么别的好方法吗?
答案是有的。我们设F(N)表示N!的尾数。
先考虑简单的。考虑某一个N!(N < 10),我们先将所有5的倍数提出来,用1代替原来
5的倍数的位置。由于5的倍数全被提走了,所以这样就不会出现尾数0了。我们先把
0..9的阶乘的尾数列出来(注意,5的倍数的位置上是1),可以得到table[0..9] =
(1, 1, 2, 6, 4, 4, 4, 8, 4, 6)。对于N < 5,直接输出table[N]即可;对于N >
= 5,由于提出了一个5,因此需要一个2与之配成10,即将尾数除以2。注意到除了0
!和1!,阶乘的最后一个非零数字必为偶数,所以有一个很特别的除法规律:2 / 2
= 6,4 / 2 = 2,6 / 2 = 8,8 / 2 = 4。比较特殊的就是2 / 2 = 12 / 2 = 6,
6 / 2 = 16 / 2 = 8。这样我们就可以得到如下式子:
代码:
F(N) = ------------ (0 <= N < 10)
再考虑复杂的。考虑某一个N!(N >= 10),我们先将所有5的倍数提出来,用1代替原
来5的倍数的位置。由于5的倍数全被提走了,所以这样就不会出现尾数0了。我们观
察一下剩下的数的乘积的尾数,通过table表,我们发现这10个数的乘积的尾数是6,
6 * 6的尾数还是6,因此我们将剩下的数每10个分成一组,则剩下的数的乘积的尾数
只与最后一组的情况有关,即与N的最后一位数字有关。由于我们把5的倍数提出来了
,N!中一次可以提出[N/5]个5的倍数,有多少个5,就需要有多少个2与之配成10,所
以有多少个5,最后就要除以多少个2。注意到除2的结果变化是4个一循环,因此如果
有A个5,只需要除(A MOD 4)次2就可以了。A MOD 4只与A的最后两位数有关,很好求
算。剩下的5的倍数,由于5已经全部处理掉了,就变成[N/5]!。于是,我们可以得到
一个递归关系:
代码:
F(N) = ----------------------------------- (N > 10)
这样我们就得到了一个O(log5(N))的算法,整除5可以用高精度加法做,乘2再除10即
可。整个算法相当巧妙,写起来也比较轻松。
因为 2^N 是以4为循环节的
而且table[N]是以10为循环节的
所以从10开始
F(N) = ----------------------------------- (N > 10)
右边的式子除了F[n/5]外 是以20为循环节的
写出循环的末尾数字mod[20]={1,1,2,6,4,2,2,4,2,8,4,4,8,4,6,8,8,6,8,2}
整体思路解决了
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int mod[20]={1,1,2,6,4,2,2,4,2,8,4,4,8,4,6,8,8,6,8,2};
char n[1000];
int a[1000];
int main()
{
int i,c,t,len;
while(scanf("%s",n)!=EOF)
{
t=1;
len=strlen(n);
for(i=0;i<len;i++)
a[i]=n[len-1-i]-'0';
while(len)
{
len-=!a[len-1];
t=t*mod[a[1]%2*10+a[0]]%10;
for(c=0,i=len-1;i>=0;i--)
c=c*10+a[i],a[i]=c/5,c%=5;
}
printf("%d\n",t);
}
return 0;
}