P4167 [Violet]樱花
题目背景
又到了一年樱花盛开的时节。Vani 和妹子一起去看樱花的时候，找到了一棵大大的樱 花树，上面开满了粉红色的樱花。Vani 粗略估计了一下，一共有足足 n! 片花瓣。
Vani 轻柔地对她说：“你知道吗？这里面的一片花瓣代表着你，我从里面随机摘一片，能和你相遇的概率只有1/n!那么小。我该是多么的幸运，才让你今天这么近地站在我面前。
相信我，我一定会把这亿万分之一的缘分变为永远。”
粉红的樱花漫天飞舞，妹子瞬间被 Vani 感动了。她轻轻地牵起了他的手，和他相依而 坐。这时，她突然看到田野的尽头也长着两棵樱花树，于是慢慢地把头靠在 Vani 的肩上，在他耳边低语：“看到夕阳里的那两棵樱花树了吗？其中一棵树上的一片花瓣是你，另一棵树上的一片花瓣是我，如果有人从这棵摘下一片，从那棵采下一瓣，我们相遇的概率会不会正好是1/n!呢？”
Vani 的大脑飞速运作了一下，立即算出了答案。正要告诉妹子，她突然又轻轻地说：“以 前你总是说我数学不好，但是这种简单的题我还是会算的。你看假如左边那棵树上有 x片花
瓣，右边那个有 y 片花瓣，那么我们相遇的概率不就是1/x+1/y么，不过有多少种情况能使
它正好可以等于1/n!呢？这个你就帮我算一下吧～”
显然，面对天然呆的可爱妹子，Vani 不但不能吐槽她的渣数学，而且还要老老实实地 帮她算出答案哦。
题目描述
求不定方程
1/x+1/y=1/n!的正整数解(x,y)的数目。
输入格式
一个整数n。
输出格式
一个整数，表示有多少对 (x,y) 满足题意。答案对10^9+7取模。
输入输出样例
2
3
说明/提示
样例说明
共有三个数对(x,y)满足条件，分别是 (3,6)(4,4)和(6,3)。
数据范围与约定 对于 30% 的数据，保证n≤100。
思路
共有三个数对(x,y)满足条件，分别是 (3,6)(4,4)和(6,3)。
对(n!)^2唯一分解的时候,最暴力的做法是直接分解,也就是对每一个n,枚举每个小于sqrt(n)的质数,时间复杂度为O(sqrt(n)*)
但是我们不需要那么暴力
可以利用线性筛里面处理出来的数组v(v[i]是i的最小质因子)来加快我们对于每一个数唯一分解的速度
对于一个数,我们可以每次除去它的最小质因子,并且累加记录,然后对于计算后得到的结果继续除其最小质因子,直到把这个数除成1为止
这样的话,时间复杂度降为O(nlogn),这样就可以过了
代码：
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1000010;
const int Mod=1e9+7;
int n,ans;
long long fj[N],v[N];
long long p[N],tot=0;
void work(int n) {
memset(p,0,sizeof(p));
memset(v,0,sizeof(v));
tot=0;
for(int i=2; i<=n; i++) {
if(!v[i]) {
v[i]=i;
tot++;
p[tot]=i;
}
for(int j=1; j<=tot; j++) {
if(i*p[j]>n||v[i]<p[j])
break;
v[p[j]*i]=p[j];
}
}
}
int main () {
scanf("%d",&n);
work(n);
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=i; j!=1; j/=v[j]) {
++fj[v[j]];
fj[v[j]]%=Mod;
}
ans=1;
for(int i=1; i<=n; i++)
ans=(ans*(fj[i]<<1|1))%Mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
