Dijkstra算法模板
Dijkstra算法又称为单源最短路径，所谓单源是在一个有向图中，从一个顶点出发，求该顶点至所有可到达顶点的最短路径问题。
设G=（V，E）是一个有向图，V表示顶点，E表示边。它的每一条边（i，j）属于E，都有一个非负权W（I,j），在G中指定一个结点v0，要求把从v0到G的每一个接vj（vj属于V）的最短有向路径找出来（或者指出不存在）。
Dijstra算法是运用贪心的策略，从源点开始，不断地通过相联通的点找出到其他点的最短距离
基本思想是：
设置一个顶点的集合s，并不断地扩充这个集合，一个顶点属于集合s当且仅当从源点到该点的路径已求出。开始时s中仅有源点，并且调整非s中点的最短路径长度，找当前最短路径点，将其加入到集合s，直到终点在s中。
基本步骤：
1、把所有结点分成两组：
第一组：包括已经确定最短路径的结点；
第二组：包括尚未确定最短路径的结点。
2、开始时，第一组只包含起点，第二组包含剩余的点；
3、用贪心的策略，按最短路径长度递增的顺序把第二组的结点加到第一组去，直到v0可达的所有结点都包含于第一组中。在这个过程中，不断更新最短路径，总保持从v0到第一组各结点的最短路径长度dist都不大于从v0到第二组任何结点的路径长度。
4、每个结点对应一个距离值，第一组结点对应的距离就是v0到此结点的最短路径长度，第二组结点对应的距离值就是v0由第一组结点到此结点的最短路径长度。
5、直到所有的顶点都扫描完毕（v0可达的所有结点都包含于第一组中），找到v0到其它各点的所有最短路径。
动画演示：http://www.jcc.jx.cn/kejiandb/Dijkstra.swf
如图：求0点到其他点的最短路径。
(1)开始时，s1={v0},s2={v1,v2,v3,v4}，v0到各点的最短路径是{0,10,&,30,100};
(2)在还未进入s1的顶点之中，最短路径为v1，因此s1={v0,v1},由于v1到v2有路径，因此v0到各点的最短路径更新为{0,10,60,30,100};
(3)在还未进入s1的顶点之中，最短路径为v3，因此s1={v0,v1,v3},由于v3到v2、v4有路径，因此v0到各点的最短路径更新为{0,10,50,30,90}；
(4)在还未进入s1的顶点之中，最短路径为v2，因此s1={v0,v1,v3,v2},由于v2到v4有路径，因此v0到各点的最短路径更新为{0,10,50,30,60};
数据结构：
(1)用一个二维数组a[i..j,i..j]来存储各点之间的距离，10000表示无通路：
(2)用数组dist[i..j]表示最短路径；
(3)用集合s表示找到最短路径的结点。
1 /*************************************** 2 * About: 有向图的Dijkstra算法实现 3 * Author: Tanky Woo 4 * Blog: www.WuTianQi.com 5 ***************************************/ 6 7 #include <iostream> 8 using namespace std; 9 10 const int maxnum = 100; 11 const int maxint = 999999; 12 13 // 各数组都从下标1开始 14 int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度 15 int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点 16 int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度 17 int n, line; // 图的结点数和路径数 18 19 void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum]) 20 { 21 bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中 22 for(int i=1; i<=n; ++i) 23 { 24 dist[i] = c[v][i]; 25 s[i] = 0; // 初始都未用过该点 26 if(dist[i] == maxint) 27 prev[i] = 0; 28 else 29 prev[i] = v; 30 } 31 dist[v] = 0; 32 s[v] = 1; 33 34 // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中 35 // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度 36 for(int i=2; i<=n; ++i) 37 { 38 int tmp = maxint; 39 int u = v; 40 // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值 41 for(int j=1; j<=n; ++j) 42 if((!s[j]) && dist[j]<tmp) 43 { 44 u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 45 tmp = dist[j]; 46 } 47 s[u] = 1; // 表示u点已存入S集合中 48 49 // 更新dist 50 for(int j=1; j<=n; ++j) 51 if((!s[j]) && c[u][j]<maxint) 52 { 53 int newdist = dist[u] + c[u][j]; 54 if(newdist < dist[j]) 55 { 56 dist[j] = newdist; 57 prev[j] = u; 58 } 59 } 60 } 61 } 62 63 void searchPath(int *prev,int v, int u) 64 { 65 int que[maxnum]; 66 int tot = 1; 67 que[tot] = u; 68 tot++; 69 int tmp = prev[u]; 70 while(tmp != v) 71 { 72 que[tot] = tmp; 73 tot++; 74 tmp = prev[tmp]; 75 } 76 que[tot] = v; 77 for(int i=tot; i>=1; --i) 78 if(i != 1) 79 cout << que[i] << " -> "; 80 else 81 cout << que[i] << endl; 82 } 83 84 int main() 85 { 86 freopen("input.txt", "r", stdin); 87 // 各数组都从下标1开始 88 89 // 输入结点数 90 cin >> n; 91 // 输入路径数 92 cin >> line; 93 int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度 94 95 // 初始化c[][]为maxint 96 for(int i=1; i<=n; ++i) 97 for(int j=1; j<=n; ++j) 98 c[i][j] = maxint; 99 100 for(int i=1; i<=line; ++i) 101 { 102 cin >> p >> q >> len; 103 if(len < c[p][q]) // 有重边 104 { 105 c[p][q] = len; // p指向q 106 c[q][p] = len; // q指向p，这样表示无向图 107 } 108 } 109 110 for(int i=1; i<=n; ++i) 111 dist[i] = maxint; 112 for(int i=1; i<=n; ++i) 113 { 114 for(int j=1; j<=n; ++j) 115 printf("%8d", c[i][j]); 116 printf("\n"); 117 } 118 119 Dijkstra(n, 1, dist, prev, c); 120 121 // 最短路径长度 122 cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl; 123 124 // 路径 125 cout << "源点到最后一个顶点的路径为: "; 126 searchPath(prev, 1, n); 127 }
输入数据:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
最后给出两道题目练手，都是直接套用模版就OK的：
1.HDOJ 1874 畅通工程续
http://www.wutianqi.com/?p=1894
2.HDOJ 2544 最短路
http://www.wutianqi.com/?p=1892
模板2：
1 /*Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26*/ 2 3 #include <iostream> 4 #include<stack> 5 #define M 100 6 #define N 100 7 using namespace std; 8 9 typedef struct node 10 { 11 int matrix[N][M]; //邻接矩阵 12 int n; //顶点数 13 int e; //边数 14 }MGraph; 15 16 void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0) //v0表示源顶点 17 { 18 int i,j,k; 19 bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n); 20 for(i=0;i<g.n;i++) //初始化 21 { 22 if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0) 23 { 24 dist[i]=g.matrix[v0][i]; 25 path[i]=v0; //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点 26 } 27 else 28 { 29 dist[i]=INT_MAX; //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大 30 path[i]=-1; 31 } 32 visited[i]=false; 33 path[v0]=v0; 34 dist[v0]=0; 35 } 36 visited[v0]=true; 37 for(i=1;i<g.n;i++) //循环扩展n-1次 38 { 39 int min=INT_MAX; 40 int u; 41 for(j=0;j<g.n;j++) //寻找未被扩展的权值最小的顶点 42 { 43 if(visited[j]==false&&dist[j]<min) 44 { 45 min=dist[j]; 46 u=j; 47 } 48 } 49 visited[u]=true; 50 for(k=0;k<g.n;k++) //更新dist数组的值和路径的值 51 { 52 if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k]) 53 { 54 dist[k]=min+g.matrix[u][k]; 55 path[k]=u; 56 } 57 } 58 } 59 } 60 61 void showPath(int *path,int v,int v0) //打印最短路径上的各个顶点 62 { 63 stack<int> s; 64 int u=v; 65 while(v!=v0) 66 { 67 s.push(v); 68 v=path[v]; 69 } 70 s.push(v); 71 while(!s.empty()) 72 { 73 cout<<s.top()<<" "; 74 s.pop(); 75 } 76 } 77 78 int main(int argc, char *argv[]) 79 { 80 int n,e; //表示输入的顶点数和边数 81 while(cin>>e>>n&&e!=0) 82 { 83 int i,j; 84 int s,t,w; //表示存在一条边s->t,q权值为w 85 MGraph g; 86 int v0; 87 int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n); 88 int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n); 89 for(i=0;i<N;i++) 90 for(j=0;j<M;j++) 91 g.matrix[i][j]=0; 92 g.n=n; 93 g.e=e; 94 for(i=0;i<e;i++) 95 { 96 cin>>s>>t>>w; 97 g.matrix[s][t]=w; 98 } 99 cin>>v0; //输入源顶点 100 DijkstraPath(g,dist,path,v0); 101 for(i=0;i<n;i++) 102 { 103 if(i!=v0) 104 { 105 showPath(path,i,v0); 106 cout<<dist[i]<<endl; 107 } 108 } 109 } 110 return 0; 111 }
