哈夫曼树——c++
哈夫曼树的介绍
Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。
定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。 这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。
(01) 路径和路径长度
定义：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
例子：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。
(02) 结点的权及带权路径长度
定义：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
例子：节点20的路径长度是3，它的带权路径长度= 路径长度 * 权 = 3 * 20 = 60。
(03) 树的带权路径长度
定义：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
例子：示例中，树的WPL= 1*100 + 2*80 + 3*20 + 3*10 = 100 + 160 + 60 + 30 = 350。
比较下面两棵树
上面的两棵树都是以{10, 20, 50, 100}为叶子节点的树。
左边的树WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360
右边的树WPL=350
左边的树WPL > 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10,20,50,100}对应的哈夫曼树。至此，应该堆哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。
哈夫曼树的图文解析
假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：
1. 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
4. 重复(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。
以{5,6,7,8,15}为例，来构造一棵哈夫曼树。
第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。
第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子)，并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。 然后，将"树5"和"树6"从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。
第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后，将"树7"和"树8"从森林中删除，并将新的树(树15)添加到森林中。
第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后，将"树11"和"树15"从森林中删除，并将新的树(树26)添加到森林中。
第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后，将"树15"和"树26"从森林中删除，并将新的树(树41)添加到森林中。
此时，森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！
哈夫曼树的基本操作
哈夫曼树的重点是如何构造哈夫曼树。本文构造哈夫曼时，用到了以前介绍过的"(二叉堆)最小堆"。下面对哈夫曼树进行讲解。
1. 基本定义
template <class T> class HuffmanNode{ public: T key; // 权值 HuffmanNode *left; // 左孩子 HuffmanNode *right; // 右孩子 HuffmanNode *parent;// 父结点 HuffmanNode(){} HuffmanNode(T value, HuffmanNode *l, HuffmanNode *r, HuffmanNode *p): key(value),left(l),right(r),parent(p) {} };
HuffmanNode是哈夫曼树的节点类。
template <class T> class Huffman { private: HuffmanNode<T> *mRoot; // 根结点 public: Huffman(); ~Huffman(); // 前序遍历"Huffman树" void preOrder(); // 中序遍历"Huffman树" void inOrder(); // 后序遍历"Huffman树" void postOrder(); // 创建Huffman树 void create(T a[], int size); // 销毁Huffman树 void destroy(); // 打印Huffman树 void print(); private: // 前序遍历"Huffman树" void preOrder(HuffmanNode<T>* tree) const; // 中序遍历"Huffman树" void inOrder(HuffmanNode<T>* tree) const; // 后序遍历"Huffman树" void postOrder(HuffmanNode<T>* tree) const; // 销毁Huffman树 void destroy(HuffmanNode<T>* &tree); // 打印Huffman树 void print(HuffmanNode<T>* tree, T key, int direction); };
Huffman是哈夫曼树对应的类，它包含了哈夫曼树的根节点和哈夫曼树的相关操作。
2. 构造哈夫曼树
/* * 创建Huffman树 * * 参数说明： * a 权值数组 * size 数组大小 * * 返回值： * Huffman树的根节点 */ template <class T> void Huffman<T>::create(T a[], int size) { int i; HuffmanNode<T> *left, *right, *parent; MinHeap<T> *heap = new MinHeap<T>(); // 建立数组a对应的最小堆 heap->create(a, size); for(i=0; i<size-1; i++) { left = heap->dumpFromMinimum(); // 最小节点是左孩子 right = heap->dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子 // 新建parent节点，左右孩子分别是left/right； // parent的大小是左右孩子之和 parent = new HuffmanNode<T>(left->key+right->key, left, right, NULL); left->parent = parent; right->parent = parent; // 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中 if (heap->copyOf(parent)!=0) { cout << "插入失败!" << endl << "结束程序" << endl; destroy(parent); parent = NULL; break; } } mRoot = parent; // 销毁最小堆 heap->destroy(); delete heap; }
首先通过heap->create(a, size)来创建最小堆。最小堆构造完成之后，进入for循环。
每次循环时：
(01) 首先，将最小堆中的最小节点拷贝一份并赋值给left，然后重塑最小堆(将最小节点和后面的节点交换位置，接着将"交换位置后的最小节点"之前的全部元素重新构造成最小堆)；
(02) 接着，再将最小堆中的最小节点拷贝一份并将其赋值right，然后再次重塑最小堆；
(03) 然后，新建节点parent，并将它作为left和right的父节点；
(04) 接着，将parent的数据复制给最小堆中的指定节点。
在二叉堆中已经介绍过堆，这里就不再对堆的代码进行说明了。若有疑问，直接参考后文的源码。其它的相关代码，也Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！
哈夫曼树的完整源码
1. 哈夫曼树的节点类 （HuffmanNode.h）
/** * Huffman树节点类 * * @author skywang * @date 2014/03/25 */ #ifndef _HUFFMAN_NODE_HPP_ #define _HUFFMAN_NODE_HPP_ template <class T> class HuffmanNode{ public: T key; // 权值 HuffmanNode *left; // 左孩子 HuffmanNode *right; // 右孩子 HuffmanNode *parent;// 父结点 HuffmanNode(){} HuffmanNode(T value, HuffmanNode *l, HuffmanNode *r, HuffmanNode *p): key(value),left(l),right(r),parent(p) {} }; #endif
2.哈夫曼树的实现文件（Huffman.h）
/** * C++实现的Huffman树。 * * 构造Huffman树时，使用到了最小堆。 * * @author skywang * @date 2014/03/25 */ #ifndef _HUFFMAN_TREE_HPP_ #define _HUFFMAN_TREE_HPP_ #include <iomanip> #include <iostream> #include "HuffmanNode.h" #include "MinHeap.h" using namespace std; template <class T> class Huffman { private: HuffmanNode<T> *mRoot; // 根结点 public: Huffman(); ~Huffman(); // 前序遍历"Huffman树" void preOrder(); // 中序遍历"Huffman树" void inOrder(); // 后序遍历"Huffman树" void postOrder(); // 创建Huffman树 void create(T a[], int size); // 销毁Huffman树 void destroy(); // 打印Huffman树 void print(); private: // 前序遍历"Huffman树" void preOrder(HuffmanNode<T>* tree) const; // 中序遍历"Huffman树" void inOrder(HuffmanNode<T>* tree) const; // 后序遍历"Huffman树" void postOrder(HuffmanNode<T>* tree) const; // 销毁Huffman树 void destroy(HuffmanNode<T>* &tree); // 打印Huffman树 void print(HuffmanNode<T>* tree, T key, int direction); }; /* * 构造函数 */ template <class T> Huffman<T>::Huffman():mRoot(NULL) { } /* * 析构函数 */ template <class T> Huffman<T>::~Huffman() { destroy(); } /* * 前序遍历"Huffman树" */ template <class T> void Huffman<T>::preOrder(HuffmanNode<T>* tree) const { if(tree != NULL) { cout<< tree->key << " " ; preOrder(tree->left); preOrder(tree->right); } } template <class T> void Huffman<T>::preOrder() { preOrder(mRoot); } /* * 中序遍历"Huffman树" */ template <class T> void Huffman<T>::inOrder(HuffmanNode<T>* tree) const { if(tree != NULL) { inOrder(tree->left); cout<< tree->key << " " ; inOrder(tree->right); } } template <class T> void Huffman<T>::inOrder() { inOrder(mRoot); } /* * 后序遍历"Huffman树" */ template <class T> void Huffman<T>::postOrder(HuffmanNode<T>* tree) const { if(tree != NULL) { postOrder(tree->left); postOrder(tree->right); cout<< tree->key << " " ; } } template <class T> void Huffman<T>::postOrder() { postOrder(mRoot); } /* * 创建Huffman树 * * 参数说明： * a 权值数组 * size 数组大小 * * 返回值： * Huffman树的根节点 */ template <class T> void Huffman<T>::create(T a[], int size) { int i; HuffmanNode<T> *left, *right, *parent; MinHeap<T> *heap = new MinHeap<T>(); // 建立数组a对应的最小堆 heap->create(a, size); for(i=0; i<size-1; i++) { left = heap->dumpFromMinimum(); // 最小节点是左孩子 right = heap->dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子 // 新建parent节点，左右孩子分别是left/right； // parent的大小是左右孩子之和 parent = new HuffmanNode<T>(left->key+right->key, left, right, NULL); left->parent = parent; right->parent = parent; // 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中 if (heap->copyOf(parent)!=0) { cout << "插入失败!" << endl << "结束程序" << endl; destroy(parent); parent = NULL; break; } } mRoot = parent; // 销毁最小堆 heap->destroy(); delete heap; } /* * 销毁Huffman树 */ template <class T> void Huffman<T>::destroy(HuffmanNode<T>* &tree) { if (tree==NULL) return ; if (tree->left != NULL) return destroy(tree->left); if (tree->right != NULL) return destroy(tree->right); delete tree; tree=NULL; } template <class T> void Huffman<T>::destroy() { destroy(mRoot); } /* * 打印"Huffman树" * * key -- 节点的键值 * direction -- 0，表示该节点是根节点; * -1，表示该节点是它的父结点的左孩子; * 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。 */ template <class T> void Huffman<T>::print(HuffmanNode<T>* tree, T key, int direction) { if(tree != NULL) { if(direction==0) // tree是根节点 cout << setw(2) << tree->key << " is root" << endl; else // tree是分支节点 cout << setw(2) << tree->key << " is " << setw(2) << key << "'s " << setw(12) << (direction==1?"right child" : "left child") << endl; print(tree->left, tree->key, -1); print(tree->right,tree->key, 1); } } template <class T> void Huffman<T>::print() { if (mRoot != NULL) print(mRoot, mRoot->key, 0); } #endif
3.哈夫曼树对应的最小堆（MinHeap.h）
/** * 最小堆：为Huffman树服务的。 * * @author skywang * @date 2014/03/25 */ #ifndef _HUFFMAN_MIN_HEAP_HPP_ #define _HUFFMAN_MIN_HEAP_HPP_ #include "HuffmanNode.h" template <class T> class MinHeap { private: HuffmanNode<T> *mHeap; // 最小堆的数组 int mCapacity; // 总的容量 int mSize; // 当前有效数据的数量 private: // 上调算法 void filterUp(int start); // 下调算法 void filterDown(int start, int end); // 交换两个HuffmanNode节点的全部数据，i和j是节点索引。 void swapNode(int i, int j); public: MinHeap(); ~MinHeap(); // 将node的全部数据拷贝给"最小堆的指定节点" int copyOf(HuffmanNode<T> *node); // 获取最小节点 HuffmanNode<T>* dumpFromMinimum(); // 创建最小堆 void create(T a[], int size); // 销毁最小堆 void destroy(); }; template <class T> MinHeap<T>::MinHeap() { } template <class T> MinHeap<T>::~MinHeap() { destroy(); } /* * 最小堆的向下调整算法 * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明： * start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) * end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) */ template <class T> void MinHeap<T>::filterDown(int start, int end) { int c = start; // 当前(current)节点的位置 int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置 HuffmanNode<T> tmp = mHeap[c]; // 当前(current)节点 while(l <= end) { // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子 if(l < end && mHeap[l].key > mHeap[l+1].key) l++; // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1] if(tmp.key <= mHeap[l].key) break; //调整结束 else { mHeap[c] = mHeap[l]; c = l; l = 2*l + 1; } } mHeap[c] = tmp; } /* * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆) * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明： * start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引) */ template <class T> void MinHeap<T>::filterUp(int start) { int c = start; // 当前节点(current)的位置 int p = (c-1)/2; // 父(parent)结点的位置 HuffmanNode<T> tmp = mHeap[c]; // 当前节点(current) while(c > 0) { if(mHeap[p].key <= tmp.key) break; else { mHeap[c] = mHeap[p]; c = p; p = (p-1)/2; } } mHeap[c] = tmp; } /* * 将node的全部数据拷贝给"最小堆的指定节点" * * 返回值： * 0，表示成功 * -1，表示失败 */ template <class T> int MinHeap<T>::copyOf(HuffmanNode<T> *node) { // 如果"堆"已满，则返回 if(mSize == mCapacity) return -1; mHeap[mSize] = *node; // 将"node的数据"全部复制到"数组末尾" filterUp(mSize); // 向上调整堆 mSize++; // 堆的实际容量+1 return 0; } /* * 交换两个HuffmanNode节点的全部数据 */ template <class T> void MinHeap<T>::swapNode(int i, int j) { HuffmanNode<T> tmp = mHeap[i]; mHeap[i] = mHeap[j]; mHeap[j] = tmp; } /* * 新建一个节点，并将最小堆中最小节点的数据复制给该节点。 * 然后除最小节点之外的数据重新构造成最小堆。 * * 返回值： * 失败返回NULL。 */ template <class T> HuffmanNode<T>* MinHeap<T>::dumpFromMinimum() { // 如果"堆"已空，则返回 if(mSize == 0) return NULL; HuffmanNode<T> *node; if((node = new HuffmanNode<T>()) == NULL) return NULL; // 将"最小节点的全部数据"复制给node *node = mHeap[0]; swapNode(0, mSize-1); // 交换"最小节点"和"最后一个节点" filterDown(0, mSize-2); // 将mHeap[0...mSize-2]构造成一个最小堆 mSize--; return node; } /* * 创建最小堆 * * 参数说明： * a -- 数据所在的数组 * size -- 数组大小 */ template <class T> void MinHeap<T>::create(T a[], int size) { int i; // 创建最小堆所对应的数组 mSize = size; mCapacity = size; mHeap = new HuffmanNode<T>[size]; // 初始化数组 for(i=0; i<size; i++) { mHeap[i].key = a[i]; mHeap[i].parent = mHeap[i].left = mHeap[i].right = NULL; } // 从(size/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。 for (i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) filterDown(i, size-1); } // 销毁最小堆 template <class T> void MinHeap<T>::destroy() { mSize = 0; mCapacity = 0; delete[] mHeap; mHeap = NULL; } #endif
4.哈夫曼树的测试文件（HuffmanTest.cpp）
/** * Huffman树测试程序 * * @author skywang * @date 2014/03/25 */ #include <iostream> #include "Huffman.h" using namespace std; int main() { int a[]= {5,6,8,7,15}; int i, ilen = sizeof(a) / (sizeof(a[0])) ; Huffman<int>* tree=new Huffman<int>(); cout << "== 添加数组: "; for(i=0; i<ilen; i++) cout << a[i] <<" "; tree->create(a, ilen); cout << "\n== 前序遍历: "; tree->preOrder(); cout << "\n== 中序遍历: "; tree->inOrder(); cout << "\n== 后序遍历: "; tree->postOrder(); cout << endl; cout << "== 树的详细信息: " << endl; tree->print(); // 销毁二叉树 tree->destroy(); return 0; }
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