BZOJ 1023 仙人掌图

Description

如果某个无向连通图的任意一条边至多只出现在一条简单回路（simple cycle）里，我们就称这张图为仙人图（cactus）。所谓简单回路就是指在图上不重复经过任何一个顶点的回路。

 

举例来说，上面的第一个例子是一张仙人图，而第二个不是——注意到它有三条简单回路：（4，3，2，1，6，5，4）、（7，8，9，10，2，3，7）以及（4，3，7，8，9，10，2，1，6，5，4），而（2，3）同时出现在前两个的简单回路里。另外，第三张图也不是仙人图，因为它并不是连通图。显然，仙人图上的每条边，或者是这张仙人图的桥（bridge），或者在且仅在一个简单回路里，两者必居其一。定义在图上两点之间的距离为这两点之间最短路径的距离。定义一个图的直径为这张图相距最远的两个点的距离。现在我们假定仙人图的每条边的权值都是1，你的任务是求出给定的仙人图的直径。

Input

输入的第一行包括两个整数n和m（1≤n≤50000以及0≤m≤10000）。其中n代表顶点个数，我们约定图中的顶点将从1到n编号。接下来一共有m行。代表m条路径。每行的开始有一个整数k（2≤k≤1000），代表在这条路径上的顶点个数。接下来是k个1到n之间的整数，分别对应了一个顶点，相邻的顶点表示存在一条连接这两个顶点的边。一条路径上可能通过一个顶点好几次，比如对于第一个样例，第一条路径从3经过8，又从8返回到了3，但是我们保证所有的边都会出现在某条路径上，而且不会重复出现在两条路径上，或者在一条路径上出现两次。

Output

只需输出一个数，这个数表示仙人图的直径长度。

Sample Input

15 3
9 1 2 3 4 5 6 7 8 3
7 2 9 10 11 12 13 10
5 2 14 9 15 10 8
10 1
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sample Output

9

HINT

 

对第一个样例的说明：如图，6号点和12号点的最短路径长度为8，所以这张图的直径为8。

 

【注意】使用Pascal语言的选手请注意：你的程序在处理大数据的时候可能会出现栈溢出。如果需要调整栈空间的大小，可以在程序的开头填加一句：{$M 5000000}，其中5000000即指代栈空间的大小，请根据自己的程序选择适当的数值。

 

Source

 

树的直径大家都会求吧，记录每个点第一的深度和第二的深度，进行dp转移。这题其实和树上的dp其实也差不蛮多。

首先，我们把环抛开，f[i]记录每个点i为根到底最长的路径，然后用ans=max(ans,f[son]+1+f[i])更新答案，f[i]=max(f[i],f[son]+1)来更新f[i]，想一想为什么(其实跟我讲的第一深与第二深的原理是相同的)。(son不包括环上的点。)

然后，我们再来考虑环。首先，我们可以将环进行缩点处理，只要留深度最小的点即可(因为只有环上深度最小的点可以更新其他的树点，环上其他的点都是用来更新这个最高点的，所以他们就可以再见了)。由于不会出现环套环的现象(仙人掌图的性质)，所以我们就可以放心的把环抠出来dp了。则ans=max(f[i]+f[j]+dis(i,j),ans),f[root]=min(f[i],f[j]+dis[i][j]);乍看好像必须要O(n^2)的暴力枚举才可以做出来。然而，我们可以利用单调队列降掉一个n：将环长扩充一倍(貌似一半就可以了)，单调队列中记录f[j]+dis[i][j]的值(单增的)，但是对于i-j>环长/2的点，我们就把j给删掉了。这样我们就可以做到线性更新ans，至于更新f[root]，我们再枚举一遍即可。

这样的树p我们可以在tarjan中完成，实现见code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

#define maxm 100010
#define maxn 50010
int n,m,cnt,toit[maxm*2],side[maxn],next[maxm*2],f[maxn];
int ans,dfn[maxn],low[maxn],fa[maxn],a[2*maxn],q[2*maxn];

inline void add(int a,int b) { next[++cnt] = side[a]; toit[cnt] = b; side[a] = cnt; }

inline void ins(int a,int b) { add(a,b); add(b,a); }

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

inline void dp(int root,int last)
{
    int nn = 0;
    while (last != root) a[++nn] = last,last = fa[last];
    a[++nn] = root;
    for (int i = 1;i * 2 <= nn;++i) swap(a[i],a[nn-i+1]);
    for (int i = 1;i <= nn;++i) a[i] = f[a[i]],a[i+nn] = a[i];
    int h = 0,t = 0;
    q[++t] = 1;
    for (int i = 2;i <= nn * 2;++i)
    {
        while (h != t && i-q[h+1]>nn/2) ++h;
        ans = max(ans,i - q[h+1] + a[i] + a[q[h+1]]);
        while (h != t && a[q[t]] - q[t]<= a[i] - i) --t;
        q[++t] = i;
    }
    for (int i = 2;i <= nn;++i)
        f[root] = max(f[root],a[i] + min(i-1,nn+1-i));
}

inline void dfs(int now)
{
    dfn[now] = low[now] = ++cnt;
    for (int i = side[now];i;i = next[i])
    {
        if (toit[i] == fa[now]) continue;
        if (!dfn[toit[i]]) fa[toit[i]] = now,dfs(toit[i]);
        low[now] = min(low[toit[i]],low[now]);
        if (dfn[now] < low[toit[i]]) ans = max(ans,f[now]+f[toit[i]]+1),f[now] = max(f[now],f[toit[i]]+1);
    }
    for (int i = side[now];i;i = next[i])
        if (toit[i] != fa[now]&&dfn[toit[i]]>dfn[now]&&fa[toit[i]] != now) dp(now,toit[i]);
}

int main()
{
    freopen("1023.in","r",stdin);
    freopen("1023.out","w",stdout);
    n = read(); m = read(); int u,v,i,j,k;
    for (i = 1;i <= m;++i)
    {
        k = read(); u = read();
        for (j = 1;j < k;++j) v = read(),ins(u,v),u = v;
    }
    cnt = 0;
    dfs(1);
    printf("%d",ans);
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}