威尔逊定理证明：
威尔逊定理
威尔逊定理：当 \(( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )\) 时，\(p\)为素数。
\[p|(p-1)!+1
\]
即
\[(p - 1)! \equiv (p -1) \equiv-1(mod \ p)
\]
证明（静下心看）：
先假设集合\(M=\{ 2,3,4,\cdots,p - 2\}\) ，集合\(N = \{ 1,2,3,\cdots,p-1\}\)
任取一个\(a\in M\) ，\(a\) 一定与\(p\) 互质。
再假设一个集合\(S=a\cdot N=\{a,2a,\cdots, a(p-1)\}\) ，对于\(\forall x\in N\) ，\(x\) 一定与\(p\) 互质。
则\(S\equiv N (mod \quad p)\) （任何数\(mod \quad p\) 一定属于\(\{1,2,\cdots ,p-1\}\) 即\(N\)）。
即\(\forall a\in M\) ， \(\exist x \in N\) ， \(ax \equiv 1\)（因为 \(ax \in S\) ，在 \(mod \ \ p\) 的条件下 \(S=N\) ，且存在 \(1\in N\)）
我们可以证明，当\(x=1\) 或 \(x=p-1\) 或 \(x=a\) 时，与已知矛盾。
所以有
\[ \forall a\in M ，\exist x \in M ,ax \equiv 1
\]
也就是可以在\(M\) 中找到任意两个不相等的数，使得两个数相乘与$ 1 $同余
对于 \((p-1)!\) ，有
\[2\times(p-1)!=1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (p-1) \\ \times(p-1)\times(p-2)\times(p-3) \times\cdots \times1 (mod \ \ p)
\]
\[2\times(p-1)!=2\times(p-1) (mod \ \ p)
\]
即
\[(p-1)!\equiv p-1 (mod \ p) \ \ ( * )
\]
由$ ( * ) $ 式得 $ kp+(p-1)=(p-1)!=(p-1) * (p-2)! $
变形得 $ kp = (p-1) * [(p-2)!-1] $
