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一.变分原理

变分原理始于17世纪的速降问题,也就是连接两点的曲线在有重力的情况下,让初速度为0的一小球最快地通过?

这个问题由伯努力给出解答,他的方法非常巧妙,而最后开创了一个学科——变分学。他假设y=y(x)是最终所得曲线(假设我们在一个二维空间中,x为横坐标,y为纵坐标),在x时的速率为v,那么下滑ds所用时间为ds/v。由于能量守恒,也就是12mv2=mgy(x)。那么v=2gy(x),而ds=1+˙y(x)2dx。伯努力指出,所求曲线应该是泛函t12的“临界曲线”,也就是给定y1,y2后,让t12=x2x11+˙y(x)2dx最小的y。找到这个y就如同微积分中找到一个函数的临界点,如果我们加上一个小量都比它大的话,那么这个就是临界点。同理,我们的变分问题就变为0=δt12δy|y=y0=lim这个方程被称为Euler-Lagrange方程。变分原理,用最粗糙的语言描述就是

变分原理(狄利克雷原理)在物理或几何问题中,质子运动方程或方式是以“最省力”的方法进行。也即它满足相应泛函的Euler-Langrange方程!

比如说对于无外力作用下的欧氏空间中,两点之间的最短分段可微曲线\gamma(t)可以用如下方法计算:即对于能量泛函S(\gamma)=\frac{1}{2}\int_a^b (\sum_{j=0}^n \gamma'(t)^2)dt,相应的Euler-Lagrange方程就是0=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{2}\int_a^b \frac{\langle \gamma'+\epsilon h',\gamma'+\epsilon h'\rangle- \langle \gamma',\gamma'\rangle}{\epsilon}dt=-\int_a^b\langle \gamma''(t),h(t) \rangle dt对于任意的h都成立,那么就是\gamma(t)=\vec{a}+t\vec{b}为两点之间最短的路线,也就是直线。\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}

二.Yang-Mills方程

为了给出Yang-Mills方程我们给出所谓的Hodge*算子。设V为一个n维欧氏空间,有内积度量,选取单位正交基\{e_1,e_2,\ldots,e_n\},它的Grassmanian代数记为\wedge^* V,p次外代数记为\wedge^p V。那么Hodge引入了*算子e_{i_1}\wedge\ldots \wedge e_{i_p}\mapsto (-1)^{\sgn(i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_{n-p})}e_{j_1}\wedge e_{j_{n-p}}.其中\{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_{n-p}\}\{1,2,\ldots,n\}的一个排列。由此可见

性质1:**:\wedge^p\to\wedge^p**=(-1)^{np+p}id这个由简单计算可知

性质2:*1=\sqrt{\det(g_{ij})}dx^1\wedge\ldots,\wedge dx^n

这是由于,在坐标系(x^1,\ldots,x^n)下,度量ds^2=g_{ij}(x)dx^i dx^j,g_{ij}=\langle \frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}\rangle。我们仅验证n=2的情况。即ds^2=g^{11}(dx^1)^2+2g^{12}dx^1dx^2+g^{22}(dx^2)^2x\in M的余切空间T_x^*M上,我们找一组正交基w_1=\frac{1}{\sqrt{g^{11}}}dx^1,w_2=adx^1+bdx^2。而正交性表明w_2=-\frac{g^{12}}{\sqrt{\det(g^{ij})\cdot g^{11}}}dx^1+\frac{\sqrt{g^{11}}}{\sqrt{\det(g^{ij})}}dx^2

从而w_1\wedge w_2=\sqrt{\det(g_{ij})}dx^1\wedge dx^2,由于1/\det(g^{ij})=\det(g_{ij})

我们由此可以引入内积\forall \phi,\psi\in\wedge^p,\langle \phi,\psi\rangle :=\int_M(\phi\wedge *\psi)。有了内积就有对偶,对于外微分算子\wedge^{p-1}\to\wedge^p我们定义它的对偶d^*满足\langle d\phi,\psi\rangle=\langle \phi,d^*\psi\rangle

引理 d^*=(-1)^{np+n+1}*d*:\wedge^p\to\wedge^{p-1}

证明:由于\forall \phi\in\wedge^{p-1},\psi\in\wedge^p我们有\langle d\phi,\psi\rangle=\int_M(d\phi)\wedge(*\psi)=(-1)^p\int_M\phi\wedge d*\psi.由于d*\psin-p+1形式,那么有**d*\psi=(-1)^{n(n-p+1)+(n-p+1)}id。即\langle d\phi,\psi\rangle=\int_M\phi\wedge *((-1)^{np+n+1}*d*\psi).\quad\square

从而我们可以研究Yang-Mills泛函的Euler-Lagrange方程,故而有如下定理

定理1 Yang-Mills泛函的Euler-Lagrange方程是D_A^* F_A=0,其中D_A=d+A(称为Yang-Mills方程)

证明:对于联络D_A=d+A的变分A+\epsilon B我们有对于\forall s F_{A+\epsilon B}s=(D_A+\epsilon B)(D_A+\epsilon B) s=D_A^2 s+\epsilon(D_A B) s+\epsilon^2 B\wedge B s.其Euler-Lagrange方程为0=\frac{d}{d\epsilon}(YM(D_{A+\epsilon B}))|_{\epsilon=0}=\int_{\mathbb{R}^n}\langle F_A,D_A B\rangle *1=\int_{\mathbb{R}^n}\langle D_A^* F_A,B\rangle *1

也就是D_A^* F_A=0\square \newcommand{\R}{\mathbb{R}}

例子 对于平坦\R^n中的欧氏度量g_{ij}=\delta_{ij},我们考察Yang-Mills方程:对于联络A=A_k dx^k,其曲率为F_A=F_{ij} dx^i dx^j,其中F_{ij}=\partial_i A_j-\partial_j A_i+[A_i,A_j]。注意到(D_A B)s= D_A(B s)+B\wedge (D_A s)=(dB+[A,B])s,从而D_A^* F_A=(-1)^{\ldots}*D_A*F_A=0即为D_A(*F_A)=0

故而d(*F_A)+[A,*F_A]= (-1)^{\sgn(i,j,k_1,\ldots,k_{n-2})}\left(\frac{\partial F_{ij}}{\partial x^k}+[A_k,F_{ij}]\right)dx^k\wedge \bigwedge_{i=1}^{n-2}dx_{k_i}=0由于k=ij方程才有意义,所以划归为\left\{\begin{array}{lr}\frac{\partial F_{ij}}{\partial x^i}+[A_i,F_{ij}] & =0\\\frac{\partial F_{ij}}{\partial x^j}+[A_j,F_{ij}] & =0 \end{array}\right.

注:这里[A,B]=AB-(-1)^{\tau(B)}BA,其中\tau(B)B的奇偶性。奇数为1,偶数为0.

三.电磁场里的Maxwell方程组

由于D_AB=dB+[A,B],我们断言D_A F_A=0。这是由于d F_A=d(dA+A\wedge A)=dA\wedge A-A\wedge dA,而[A,F_A]=A\wedge(dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=-dF_A,从而该断言成立。有趣的是,另一组方程,即电磁场里的麦克斯韦方程(Maxwell Equation)与此密切相关。回忆麦克斯韦方程是\left\{\begin{array}{clc}\nabla \cdot \vec{B}& =0 &\mbox{自由磁极不存在}\\ \nabla\times\vec{E}+\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & =0 &\mbox{法拉第方程}\\ \nabla\cdot \vec{E}&=4\pi\rho &\mbox{麦克斯韦-库仑方程}\\ \nabla\times\vec{B}-\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}&=4\pi \vec{j}&\mbox{安培定律}\end{array}\right.这里我们考虑的是三维的情况,\vec{E}=(E_1,E_2,E_3)是电场,\vec{B}=(B_1,B_2,B_3)是磁场,而\rho是电荷密度,\vec{j}=(j_1,j_2,j_3)是电流密度,\nabla是梯度算子。Hermann Weyl指出,上述Maxwell方程组可以看成\R^{1,3}的Minkowski空间平凡主丛\R^{1,3}\times U(1)上的Yang-Mills方程!

首先从前两个方程\nabla\cdot \vec{B}=0以及\nabla\times \vec{E}+\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0\R^3中的高斯公式,我们知道存在三维的向量函数\vec{A}(t,x),x=(x^1,x^2,x^3)以及数量函数\Phi(t,x)使得\vec{B}=\nabla\times\vec{A},\vec{E}=\nabla\Phi-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}。从而引入四维向量\tilde{A}=(\Phi,A),以及电磁密度\tilde{j}=4\pi(-\rho,\vec{j})。如果把\tilde{A}看成\R^{1,3}的平凡主丛上的联络,即\tilde{A}(t,x)=\Phi dt+A_1 dx^1+A_2 dx^2+A_3 dx^3在相差一个i系数下,它可以看成主丛U(1)上的联络(注意U(1)上联络取值为\mathfrak{u}(1),也即纯虚数)。我们有F_{\tilde{A}}=d\tilde{A}+\tilde{A}\wedge\tilde{A}=(\partial_\alpha A_\beta-\partial_\beta A_\alpha)dx^\alpha dx^\beta这里A=A_\alpha dx^\alpha,F=F_{\alpha\beta} dx^\alpha dx^\beta。带入先前条件知道F=\begin{bmatrix}0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\ E_1 & 0 & B_3 & -B_2 \\ E_2 & -B_3 & 0 & B_1 \\ E_3 & B_2 & -B_1 & 0\end{bmatrix}事实上,我们有如下定理

定理 Maxwell的前两个方程即为d F_A=0

我们知道\partial_1 F_{23}+\partial_2 F_{31}+\partial_3 F_{12}=0也就是dx^1 dx^2 dx^3这一项,我们得到\nabla \cdot B=0。同理对于其他项,我们分别得到第二个方程的三个分量分别为0

而对于第三,第四个方程,我们考虑\R^{1,3}上的Hodge*算子,也就是有如下的对比,令\epsilon_1=-1

\R^{1,3} \R^4
*(\epsilon_1 dx^0\wedge dx^1)=dx^2\wedge dx^3 *( dx^0\wedge dx^1)=dx^2\wedge dx^3
*(\epsilon_1 dx^0\wedge dx^2)=dx^3\wedge dx^1 *( dx^0\wedge dx^2)=dx^3\wedge dx^1
*(\epsilon_1 dx^0\wedge dx^3)=dx^1\wedge dx^2 *( dx^0\wedge dx^3)=dx^1\wedge dx^2
*(dx^2\wedge dx^3)=dx^0\wedge dx^1 *(dx^2\wedge dx^3)=dx^0\wedge dx^1
*^2=**=-1 *^2=**=1

 于是我们有如下定理

定理 Maxwell后两个方程即为d*F_A=\tilde{j}

 综合起来,也就是说平凡主丛\R^{1,3}\times U(1)上的Yang-Mills方程即为电磁密度为0的Maxwell方程。

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