一. $\mathbb{R}^4$或$\mathbb{R}^n$上平凡主丛的联络与曲率$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$
回忆切丛$T\R^n\cong \R^n\times\R^n$(若$U\subset M$有坐标系$(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，那么$U$上的切丛即为$TU=U\times \R^n$)
在$\R^n$上的主丛是指$P=\R^n\times G$(所以我们称之为平凡主丛，这里就是把切空间$\R^n$换成了李群$G$，而$G$称为主丛$P$的结构李群,更一般的流形上主丛的定义可见这里，不过在这个笔记中不会出现)。我们研究的四维空间由于度量的不同而有所不同，特别的有如下空间
- $\R^4$上坐标$(x^1,x^2,x^3,x^4)$,$ds^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2+(dx^4)^2$
- $\R^{1,3}$上坐标$(t,x^1,x^2,x^3)$,$ds^2=-dt^2+(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2$，这称为闵可夫斯基空间
- $\R^{2,2}$上坐标$(x^1,x^2,x^3,x^4)$,$ds^2=(dx^1)^2+(dx^2)^2-(dx^3)^2-(dx^4)^2$，称为双曲空间
我们可以知道这三个空间都线性同构于$\R^4$。对于主丛$P=\R^n\times G$，我们记其结构李代数为$\mathfrak{g}$，所谓主丛上的一个联络是指$\R^n$中一个$\mathfrak{g}$值的$1-$形式$A$,局部有$A=\sum_{\mu=1}^n A_\mu(x)dx^\mu,A_\mu\in\mathfrak{g}$。有时记$D_A=d+A$为$p$上的联络
对于给定的联络$A$,相应的曲率我们记为$F_A$,定义为$F_A f=(d+A)^2f$。而又由于$$F_A f=(d+A)(df+Af)=d^2f+dAf-A\wedge df+A\wedge df+A\wedge A f=(dA+A\wedge A)f:=\sum_{1\le\mu<\nu\le n}F_{\mu \nu}(x)dx^\mu dx^\nu$$ (由于$d(Af)=(dA)f-A\wedge df$)，我们可以得出$$F_{\mu\nu}(x)=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu +[A_\mu,A_\nu].$$证明：$A=\sum_{\mu=1}^n A_\mu dx^\mu$,从而$$\begin{align*}dA+A\wedge A&= \sum_{\mu=1}^n\left(\sum_{\nu=1}^n\frac{\partial A^\mu}{\partial x^\nu}dx^\nu\right)\wedge dx^\mu+\left(\sum_{\mu=1}^n A_\mu dx^\mu\right)\wedge\left(\sum_{\nu=1}^n A_\nu dx^\nu\right)\\&= \sum_{\mu,\nu}\partial_\nu A_\mu dx^\nu\wedge dx^\mu +\sum_{\mu,\nu}A_\mu\cdot A_\nu dx^\mu\wedge dx^\nu\\&=\sum_{1\le \mu < \nu \le n}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu +[A_\mu, A_\nu])dx^\mu\wedge dx^\nu \end{align*} $$
二.主丛上的Yang-Mills泛函
这里我们马上就要请出我们笔记的主角——Yang-Mills泛函了，首先我们给出它的定义
定义 对于$\R^n$上一个联络$A$($\mathfrak{g}$值的$1-$形式),我们定义Yang-Mills泛函为$$YM(A)=\frac{1}{2}\int_{\R^n}\langle F_A,F_A\rangle dV_{\R^n}=\frac{1}{2}\int_{\R}|F_A|^2dx$$
不过我们还没有定义$F_A$的内积是什么。回顾先前提到的黎曼度量$ds^2=\sum_{i,j}g_{ij}(x)dx^i dx^j$，特别的，在$\R^n$上的欧氏内积是$g_{ij}=\delta_{ij}$成立。故而对任意取值为向量空间的向量场$X=X^i(x)\frac{\partial}{\partial x^i},Y=Y^i(x)\frac{\partial}{\partial x^i}$,我们有$$\langle X,Y \rangle=X^i Y^j g_{ij}$$，这里我们用的是爱因斯坦记号。而在对偶向量丛上自然的内积则为$$\langle X_i dx^i,Y_i dx^i\rangle=g^{ij} X_i Y_i$$这里$(g^{ij})$为$(g_{ij})$之逆。这是由于如果我们定义映射$\tau:T_pM \to T_p^*M$为$\tau(X)(Y)=g(X,Y)$，而这样就有$X\to \tau(X)$为保度量的映射。具体如下：
加入$X=X^i\frac{\partial}{\partial x^i},\tau(X)=X_i dx^i$，则断言有$X_i=g_{ij} X^j,X^i=g^{ij}X_j$，这是由于$$X_i=\tau(X)(\frac{\partial}{\partial x^i})=\sum_j X^j g(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^i})=g_{ij}X^j$$从而我们有$\|X\|=g_{ij}X^i X^j=g_{ij}(g^{ik}X_k)(g^{jl} X_l)=g^{kl}X_k X_l$。类似地，对于$2-$形式$\alpha=\alpha_{ij} dx^i\wedge dx^j$，我们有$$\|\alpha\|^2=\langle\alpha,\alpha \rangle=g^{ij}g^{kl}\alpha_{ik}\alpha_{jl}$$如果$g_{ij}=\delta_{ij}$，则$\|\alpha\|^2\sum_{i,j}\alpha_{ij}^2$。于是对于我们欧氏空间上的Yang-Mills泛函我们就有$$YM(A)=\frac{1}{2}\int_{\R^m}\langle F_A,F_A\rangle d V_{\R^m}=\frac{1}{2}\int_{\R^m}\langle \sum_{\mu<\nu}F_{\mu,\nu}d x^\mu\wedge dx^\nu,\cdots\rangle d V_{\R^m}=\frac{1}{2}\int_{\R^m}\sum_{\mu<\nu}F_{\mu\nu}^2 dV_{\R^m}$$$\newcommand{la}{\langle\langle}$$\newcommand{\ra}{\rangle\rangle}$$\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}$
又由于$F_{\mu,\nu}$为$\mathfrak{g}$值的函数，我们可以将$F_{\mu\nu}$理解为$F_{\mu,\nu}^2=\la F_{\mu,\nu},F_{\mu,\nu}\ra=-\tr(F_{\mu,\nu}^2)$，其中$\la\cdot,\cdot\ra$为双不变度量。从而$\R^m\times G$上的Yang-Mills泛函即为$$YM(A)=-\frac{1}{2}\int_{\R^m}\left(\sum_{\mu<\nu}\tr(F_{\mu,\nu}^2)\right)dV_{\R^m}$$
三.Yang-Mills泛函的性质
以下我们给出Yang-Mills泛函的一些不变性性质，这种结构是Yang-Mills理论大获成功的内因之一。
定理1 $\R^4$上的Yang-Mills泛函关于$\R^4$的度量的共形不变的
两个度量$g_{ij}$与$\tilde{g}_{ij}$共形的意思，存在处处正的光滑函数$\rho(x)$，使得$g_{ij}(x)=\rho(x)\tilde{g}_{ij}(x)$处处成立，而共形不变的意思则是Yang-Mills泛函在共形的度量下不变。
证明：由于Yang-Mills泛函的定义，在$\R^4$上对$g^{ij}g^{kl}$对$dV_{\tilde{g}}$进行积分，利用共形的定义会多出来$\frac{1}{\rho^2}$，但是$dV_{\R^4}$中利用换元可以知道$dV_{\tilde{g}}=\sqrt{\rho^4\det g_{ij}}dx^1\wedge\ldots\wedge dx^{4}=\rho^2dV_{g}$，故而消去了$\rho^2$后得到的是$g_{ij}$下的Yang-Mills泛函。这里利用四维的原因就是为了消去$\rho^2$所致。$\square$
利用这样的定理，我们可知由于$S^4(1)\backslash\{(0,0,0,0,1)\}$与$\R^4$共形，它们的Yang-Mills泛函相同，这是由于$ds^2|_{S^4\backslash \{1\}}=\frac{4(du^1)^2+(du^2)^2+(du^3)^2+(du^4)^2}{(1+(u^1)^2+(u^2)^2+(u^3)^2+(u^4)^2)^2}$。
而接下来的一个定理则是Yang-Mills泛函最重要的结论，即
定理2 $\R^n$上的Yang-Mills泛函在规范变化下是不变的。
(a)规范群(Gauge Group)
对于李群$G$(或有限维半单李群)，把从$\R^n$到$G$的光滑映射$f:\R^n\to G$称为规范群$C^\infty(\R^n,G)$中的一个元素。也就是在这里，规范群是指所有$\R^n$到$G$的光滑映射。
因为在$C^\infty(\R^n,G)$中有一个自然的群结构，由$G$诱导出来，具体来说，$\forall f,h\in C^\infty(\R^n,G)$,$f\cdot h(x):=f(x)\cdot h(x)$，则也在$c^\infty(\R^n,G)$中。特别注意的是，我们称$L_G=C^\infty(S^1,G)$称为圈群(loop group)
(b)联络间的规范变换
设$A$为主丛$\R^n\times G$上一个联络，$\forall f\in C^\infty(\R^n,G)$，则$$A(x)\mapsto \tilde{A}(x)=f^{-1}(x)df(x)+f^{-1}(x)A(x)f(x)$$称为$A$的规范变换。易见$\tilde{A}$也是$\mathfrak{g}-$值的$1-$形式，从而也是新的联络。我们定义$A$与$\tilde{A}$规范等价，如果存在$f\in C^\infty(\R^n,G)$使得$\tilde{A}=f^{-1}df+f^{-1}Af$。
(c)我们由此可以推出，在上述规范变换后$\tilde{A}$与$A$相应的曲率$F_{\tilde{A}}=f^{-1} F_A f$
证明：由曲率定义可知\begin{align*}F_{\tilde{A}}&=d\tilde{A}+\tilde{A}\wedge\tilde{A}=d(f^{-1}df+f^{-1}Af)+(f^{-1}df+f^{-1}Af)\wedge(f^{-1}df+f^{-1}Af) \\&=-f^{-1}df f^{-1}\wedge df-f^{-1}df f^{-1}\wedge Af + f^{-1}dA f-f^{-1} A\wedge df + f^{-1} df \wedge f^{-1} df+f^{-1} A\wedge df+f^{-1}df\wedge f^{-1} Af + f^{-1}A\wedge Af\\&= f^{-1}dA f+f^{-1} A\wedge A f= f^{-1} F_A f\end{align*}
注：(1)联络规范变换是非齐次的，而曲率的变换关系却是齐次的！
(2)有时$F_A$定义为$F_A=dA-A\wedge A$这里规范变换则为$\tilde{A}=f d(f^{-1})+fAf^{-1}$,有$F_{\tilde{A}}=f F_A f^{-1}$。
有了如上结论，我们很容易得到定理2，即$$\langle F_{\tilde{A}},F_{\tilde{A}}\rangle=-\tr(F_{\tilde{A}}F_{\tilde{A}})=-\tr(f^{-1} F_A F_A f)=-\tr(F_A F_A)=\langle F_A,F_A\rangle$$
这个定理表明，Yang-Mills泛函在规范变换下不变，也即如果有$F_A=0$（称$A$为Yang-Mills解），经过规范变换的$\tilde{A}$也是Yang-Mills解，而又由于$C^\infty(\R^n,G)$是无穷维的，即找到一个Yang-Mills解就是找到无穷多个与其规范等价的Yang-Mills解。
所以接下来我们需要理解的是“不规范等价的Yang-Mills解”。
