《编程之美: 求二叉树中节点的最大距离》的另一个解法

昨天花了一个晚上为《编程之美》，在豆瓣写了一篇书评《迟来的书评和感想──给喜爱编程的朋友》。书评就不转载到这里了，取而代之，在这里介绍书里其中一条问题的另一个解法。这个解法比较简短易读及降低了空间复杂度，或者可以说觉得比较「美」吧。

问题定义

如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义"距离"为两节点之间边的个数。写一个程序求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。

书上的解法

书中对这个问题的分析是很清楚的，我尝试用自己的方式简短覆述。

计算一个二叉树的最大距离有两个情况:

• 情况A: 路径经过左子树的最深节点，通过根节点，再到右子树的最深节点。
• 情况B: 路径不穿过根节点，而是左子树或右子树的最大距离路径，取其大者。

只需要计算这两个情况的路径距离，并取其大者，就是该二叉树的最大距离。

我也想不到更好的分析方法。

但接着，原文的实现就不如上面的清楚 (源码可从这里下载):

// 数据结构定义
struct NODE
{
	NODE* pLeft;       	// 左子树
	NODE* pRight;      	// 右子树
	int nMaxLeft;      	// 左子树中的最长距离
	int nMaxRight;     	// 右子树中的最长距离
	char chValue;    	// 该节点的值
};

int nMaxLen = 0;

// 寻找树中最长的两段距离
void FindMaxLen(NODE* pRoot)
{
	// 遍历到叶子节点，返回
	if(pRoot == NULL)
	{
		return;
	}

	// 如果左子树为空，那么该节点的左边最长距离为0
	if(pRoot -> pLeft == NULL)
	{
		pRoot -> nMaxLeft = 0; 
	}

	// 如果右子树为空，那么该节点的右边最长距离为0
	if(pRoot -> pRight == NULL)
	{
		pRoot -> nMaxRight = 0;
	}

	// 如果左子树不为空，递归寻找左子树最长距离
	if(pRoot -> pLeft != NULL)
	{
		FindMaxLen(pRoot -> pLeft);
	}

	// 如果右子树不为空，递归寻找右子树最长距离
	if(pRoot -> pRight != NULL)
	{
		FindMaxLen(pRoot -> pRight);
	}

	// 计算左子树最长节点距离
	if(pRoot -> pLeft != NULL)
	{
		int nTempMax = 0;
		if(pRoot -> pLeft -> nMaxLeft > pRoot -> pLeft -> nMaxRight)
		{
			nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxLeft;
		}
		else
		{
			nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxRight;
		}
		pRoot -> nMaxLeft = nTempMax + 1;
	}

	// 计算右子树最长节点距离
	if(pRoot -> pRight != NULL)
	{
		int nTempMax = 0;
		if(pRoot -> pRight -> nMaxLeft > pRoot -> pRight -> nMaxRight)
		{
			nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxLeft;
		}
		else
		{
			nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxRight;
		}
		pRoot -> nMaxRight = nTempMax + 1;
	}

	// 更新最长距离
	if(pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight > nMaxLen)
	{
		nMaxLen = pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight;
	}
}

这段代码有几个缺点:

1. 算法加入了侵入式(intrusive)的资料nMaxLeft, nMaxRight
2. 使用了全局变量 nMaxLen。每次使用要额外初始化。而且就算是不同的独立资料，也不能在多个线程使用这个函数
3. 逻辑比较复杂，也有许多 NULL 相关的条件测试。

我的尝试

我认为这个问题的核心是，情况A 及 B 需要不同的信息: A 需要子树的最大深度，B 需要子树的最大距离。只要函数能在一个节点同时计算及传回这两个信息，代码就可以很简单:

#include <iostream>

using namespace std;

struct NODE
{
	NODE *pLeft;
	NODE *pRight;
};

struct RESULT
{
	int nMaxDistance;
	int nMaxDepth;
};

RESULT GetMaximumDistance(NODE* root)
{
	if (!root)
	{
		RESULT empty = { 0, -1 };	// trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.
		return empty;
	}

	RESULT lhs = GetMaximumDistance(root->pLeft);
	RESULT rhs = GetMaximumDistance(root->pRight);

	RESULT result;
	result.nMaxDepth = max(lhs.nMaxDepth + 1, rhs.nMaxDepth + 1);
	result.nMaxDistance = max(max(lhs.nMaxDistance, rhs.nMaxDistance), lhs.nMaxDepth + rhs.nMaxDepth + 2);
	return result;
}

计算 result 的代码很清楚；nMaxDepth 就是左子树和右子树的深度加1；nMaxDistance 则取 A 和 B 情况的最大值。

为了减少 NULL 的条件测试，进入函数时，如果节点为 NULL，会传回一个 empty 变量。比较奇怪的是 empty.nMaxDepth = -1，目的是让调用方 +1 后，把当前的不存在的 (NULL) 子树当成最大深度为 0。

除了提高了可读性，这个解法的另一个优点是减少了 O(节点数目) 大小的侵入式资料，而改为使用 O(树的最大深度) 大小的栈空间。这个设计使函数完全没有副作用(side effect)。

测试代码

以下也提供测试代码给读者参考 (页数是根据第7次印刷，节点是由上至下、左至右编号):

void Link(NODE* nodes, int parent, int left, int right)
{
	if (left != -1)
		nodes[parent].pLeft = &nodes[left]; 

	if (right != -1)
		nodes[parent].pRight = &nodes[right];
}

void main()
{
	// P. 241 Graph 3-12
	NODE test1[9] = { 0 };
	Link(test1, 0, 1, 2);
	Link(test1, 1, 3, 4);
	Link(test1, 2, 5, 6);
	Link(test1, 3, 7, -1);
	Link(test1, 5, -1, 8);
	cout << "test1: " << GetMaximumDistance(&test1[0]).nMaxDistance << endl;

	// P. 242 Graph 3-13 left
	NODE test2[4] = { 0 };
	Link(test2, 0, 1, 2);
	Link(test2, 1, 3, -1);
	cout << "test2: " << GetMaximumDistance(&test2[0]).nMaxDistance << endl;

	// P. 242 Graph 3-13 right
	NODE test3[9] = { 0 };
	Link(test3, 0, -1, 1);
	Link(test3, 1, 2, 3);
	Link(test3, 2, 4, -1);
	Link(test3, 3, 5, 6);
	Link(test3, 4, 7, -1);
	Link(test3, 5, -1, 8);
	cout << "test3: " << GetMaximumDistance(&test3[0]).nMaxDistance << endl;

	// P. 242 Graph 3-14
	// Same as Graph 3-2, not test

	// P. 243 Graph 3-15
	NODE test4[9] = { 0 };
	Link(test4, 0, 1, 2);
	Link(test4, 1, 3, 4);
	Link(test4, 3, 5, 6);
	Link(test4, 5, 7, -1);
	Link(test4, 6, -1, 8);
	cout << "test4: " << GetMaximumDistance(&test4[0]).nMaxDistance << endl;
}

你想到更好的解法吗?