hdu 2255 奔小康赚大钱（KM算法）

hdu 2255 奔小康赚大钱

Description
传说在遥远的地方有一个很富裕的村落,有一天,村长决定进行制度改革：又一次分配房子。

这但是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共同拥有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住（假设有老百姓没房子住的话，easy引起不安定因素），每家必须分配到一间房子且仅仅能得到一间房子。
还有一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.因为老百姓都比較富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比方有3间房子,一家老百姓能够对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).如今这个问题就是村领导如何分配房子才干使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).

Input
输入数据包括多组測试用例，每组数据的第一行输入n,表示房子的数量(也是老百姓家的数量)，接下来有n行,每行n个数表示第i个村名对第j间房出的价格(n<=300)。

Output
请对每组数据输出最大的收入值，每组的输出占一行。

Sample Input

2
100 10
15 23

Sample Output

123

(转）
【KM算法及其详细过程】
（1）可行点标：每一个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。假设对于图中的随意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W。则这一组点标是可行的。特别地。对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W)，称为可行边；
（2）KM 算法的核心思想就是通过改动某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断添加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的全然匹配为止，此时这个 匹配一定是最佳的（因为由可行点标的的定义。图中的随意一个全然匹配，其边权总和均不大于全部点的标号之和，而仅由可行边组成的全然匹配的边权总和等于所 有点的标号之和。故这个匹配是最佳的）。一開始。求出每一个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每一个X方点的初始标号为与这个X方 点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每一个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，而且，与随意一个X方点关联的边中至少有一条可行边。
（3）然后。从每一个X方点開始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本同样，仅仅是要注意两点：一是仅仅找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（能够用vst搞一下），以进行后面的改动。
（4） 增广的结果有两种：若成功（找到了增广轨），则该点增广完毕，进入下一个点的增广。

若失败（没有找到增广轨）。则须要改变一些点的标号。使得图中可行边的 数量添加。

方法为：将全部在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，全部在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d，则 对于图中的随意一条边(i, j, W)（i为X方点。j为Y方点）：
<1>i和j都在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变。也就是这条边的可行性不变（原来是可行边则如今仍是，原来不是则如今仍不是）；
<2>i在增广轨中而j不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值降低了d，也就是原来这条边不是可行边（否则j就会被遍历到了），而如今可能是；
<3>j在增广轨中而i不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值添加了d。也就是原来这条边不是可行边（若这条边是可行边，则在遍历到j时会紧接着运行DFS(i)，此时i就会被遍历到）。如今仍不是。
<4>i和j都不在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变。
这 样。在进行了这一步改动操作后。图中原来的可行边仍可行，而原来不可行的边如今则可能变为可行边。

那么d的值应取多少？显然。整个点标不能失去可行性，也 就是对于上述的第<2>类边，其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变，故取全部第<2>类边的 (lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值就可以。这样一方面能够保证点标的可行性。还有一方面，经过这一步后。图中至少会添加一条可行边。
（5）改动后，继续对这个X方点DFS增广。若还失败则继续改动。直到成功为止；
（6）以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——须要找O(n)次增广路。每次增广最多须要改动O(n)次顶标，每次改动顶 标时因为要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是能够做到O(n3)的。

我们给每一个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开 始找增广路时初始化为无穷大。

在寻找增广路的过程中。检查边(i,j)时，假设它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与 A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在改动顶标时。取全部不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值就可以。

但还要注意一点：修 改顶标后，要把全部不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d

题目大意：中文题。

解题思路：KM算法模板题，用来熟悉巩固KM算法。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int N = 305;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
int W[N][N];
int Lx[N], Ly[N];
int left[N];
bool S[N], T[N];
int n;

bool match(int i) {
    S[i] = true;
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        if (Lx[i] + Ly[j] == W[i][j] && !T[j]) {
            T[j] = true;
            if (!left[j] || match(left[j])) {
                left[j] = i;
                return true;
            }
        }   
    }
    return false;
}

void update() {
    int a = INF; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!S[i]) continue;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (T[j]) continue; 
            a = min(a, Lx[i] + Ly[j] - W[i][j]);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (S[i]) Lx[i] -= a;
        if (T[i]) Ly[i] += a;
    }
}

void KM() {
    //初始时为了使Lx[i]+Ly[j]>=W[i, j]恒成立。令Lx[i]为全部与顶点Xi关联的边的最大权，Ly[j]=0
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        left[i] = Lx[i] = Ly[i] = 0;    
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            Lx[i] = max(Lx[i], W[i][j]);    
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (1) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) S[j] = T[j] = 0;
            if (match(i)) break;
            else update();
        }   
    }
}

void input() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            scanf("%d", &W[i][j]);  
        }   
    }
}

void solve() {
    KM();
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (left[i]) {
            ans += W[left[i]][i];   
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
}

int main() {
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        input();            
        solve();
    }
    return 0;
}