【笔记】【线性代数的本质】10-特征值与特征向量
概念
对于一个变换矩阵来说，某些向量在该矩阵作用下仍停留在原向量张成的空间中，则这些向量被称为这个矩阵的特征向量，它们缩放的倍数叫作特征值。
特征值计算过程的理解
如下，求矩阵A的特征向量v和特征值\(\lambda\)。
\(Av=(\lambda I)v\)
\((A-\lambda I)v=\vec{0}\)
如果向量v为0向量的话，对于任意\(\lambda\)均成立。
否则，只有当\((A-\lambda I)\)将空间压缩，也就是
\(|(A-\lambda I)|=0\)
的情况下等式才成立。
性质：
- 对于旋转矩阵，计算出的特征值是复数，不存在特征向量。
- 一个矩阵如果只有一个特征值，可能有多个特征根，比如同时将向量伸长2倍的矩阵。
特征基（Eignbasis）
对角矩阵
对于一个矩阵来说，如果当前坐标系的所有基向量都是该矩阵的特征向量，则该变换矩阵会是对角矩阵-除了对角以外其它元素均为0。
对角矩阵的性质
计算一个对角矩阵的高次幂时，只要将对角上的元素乘以特征值的相应次幂即可，如下：
\(A^n=\lambda ^nA\)
利用上一节矩阵相似的公式，可以将不是对角矩阵的矩阵对角化后以计算高次幂。
