高等数学1

关于反对幂三指

• 指的是哪个留下来

在隐函数中求导数\({{dy}\over{dy}}\)

• 不是众生平等，而是将y看成是x的方程

对隐函数求微分

• 众生平等，加法两侧都看成一个单元，对自己的函数，求微分，遇到复合也一样

• 微分公式为\({{\partial{y}}\over{\partial{x}}}dy\)

• 微分的近似

  \[dy \approx f^{'}(x_0)\Delta{x} \]
  \[dy = f(x + x_0) - f(x_0) \]
  \[f(x + x_0) \approx f(x_0) + f^{'}(x_0)\Delta{x} \]
  \[f(x) \approx f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) \]

  • 以此类推

    \[f(x) \approx f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + {f^{''}(x_0)(x - x_0)^{2}\over{2!}} + \cdots + {f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^{n}\over{n!}} \]

    • 上式已经非常接近泰勒公式了，添加上一个拉格朗日余项即可

      \[f(x) \approx f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + {f^{''}(x_0)(x - x_0)^{2}\over{2!}} + \cdots + {f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^{n}\over{n!}} + R_n(x) \]
      • 当\(x_0 = 0\)的时候就是麦克劳林公式

  • 无法估计可能用到的等式

    • \(tanx \approx x\)
    • \(sinx \approx x\)
    • \({(1 + x)}^{\alpha} \approx 1 + \alpha{x}\)
    • \(e^x \approx 1 + x\)
    • \(ln(1 + x) \approx x\)

洛必达公式

• 洛必达是关于求极限的方法
• \(0\over0\)或者\(\infty\over\infty\)