Supervised learning demo
监督学习案例
规范
- 假设函数: 使用h(hypothesis, 假设)表示
- 输入(input value)
- 向量或者实数: 使用小写字母x等
- 矩阵: 使用大写字母X等
- 输出(output value)
- 向量或者实数: 使用小写字母y等
- 矩阵: 使用大写字母Y等
- 参数(Parameters): \(\theta\)
- 样本的数量(列数): m
- 样本中特征(feature)的个数: n
- \(x_0^{(1)}\): 0表示第0个特征(为我们给出的样本中的特征是从1开始的，这里的0是我们自己添加上去的，所有的\(x_0^{(m)}\)都为1，其中1表示第几行数据, 它的一般式就是\(x_j^{(i)}\), 以后j表示第几个特征，i表示第几个样本
房价的Size和Price的预测
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X 为 房子的 Size
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建立一个线性模型: \(h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x\)
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要让我们fit的model与y差异最小, 称之为最小化(minimize)
- 在这个案例中使用$$J(\theta_0, \theta_1) = {1\over2m}\sum_{i = 0}m(h_\theta(x) - y{(i)})2$$
- 上面的就是我们的代价函数(cost function), 因为我们有让得到的和除以了2m, 所以我们的到函数也称之为平均误差函数(squared error function), 注意: cost function的自变量时theta_0和theta_1, 不在是我们熟悉的x了
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\[{minimize_{\theta_0\theta_1}} J(\theta_0, \theta_1)$$表示求出一个$\theta_0$和$\theta_1$使得$J(\theta_0, \theta_1)$的值最小, 我们称之为最小化的过程, 上面的这个表达式就是我们的优化目标(optimization objective), 也就是我们的目标函数 \]
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使用gradient regression梯度降维求出最优解, 梯度降维的公式为\(\theta_0 := \theta_0 - \alpha \times {\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)\), 对于另一个\(\theta_1\)也是一样的, \(\theta_1 := \theta_1 - \alpha \times {\partial\over\partial\theta_1}J(\theta_0, \theta_1)\), 上面的是公式, 在实际更新我们的参数\(\theta_0, \theta_1\)的时候, 应该保证\(\theta_0, \theta_1\)同步更新, 所以应该这样子$$tmp0 := \theta_0 - \alpha \times {\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)$$ $$tmp1 := \theta_1 - \alpha \times {\partial\over\partial\theta_1}J(\theta_0, \theta_1)$$ $$\theta_0 := tmp0$$ $$\theta_1 := tmp1$$, 在最后同步更新\(\theta_0\)和\(\theta_1\)的值
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关于梯度下降公式的细节
- 公式中, \(\alpha\)表示学习率, \({\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)\)表示梯度下降的方向, 所以\(\alpha \times {\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)\)表示\(\theta_0\)要更新多少的值, 形象一点就是说, 一个人在一个山顶上, 他步子的大小为\(\alpha\), 他希望尽快下山的方向为\({\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)\), 这样我们就可以更新\(\theta_0\)的值了
- 虽然我们在公式中规定了\(\alpha\)学习率, 但是并不代表我们走的每一步就是不变的, 因为导数是在变化的, 为最低点的时候为0, 在其他地方有时别的值
- 要应用梯度下降法, 我们需要为\(\theta_0\)和\(\theta_1\)进行初始化, 一般来说都初始化为0, 但是也要视情况而定
- 什么时候停止梯度下降?
- 我们可以规定一个阈值, 当我们的\(\alpha \times {\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)\)小于这个阈值的时候停止, 这个是通过计算机自动停止迭代的, 但是不推荐使用
- 另外一种方式就是通过画出\(minimize_{\theta_0\theta_1}J(\theta_0, \theta_1)\)与迭代次数的图像来判断应该迭代多少次, 如果画出来的是一个抛物线则表示我们设置的\(\alpha\)学习率太大了, 应该减小\(\alpha\)的值
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其他
- 对于这个房价的模型, 我们除了使用梯度下降的方法求出我们的目标函数之外还可以使用matrix的方法来求, 这个更加的简单
- 我们每求一次\(J(\theta_0, \theta_1)\)的值就要遍历一遍所有的数据, 因为the definition of the \(J(\theta_0, \theta_1)\) is $$\sum_{i=1}{m}{1\over2m}{(h(x) - y{(i)})2})$$, 这种方式我们称之为Batch梯度下降
房价的Size和Price的预测-其他解决方案
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在上一节中我们已经得到了一个线性模型\(h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x\)，根据这个假设函数我们定义出了一个目标函数(也称之为损失函数)$$J(\theta_0, \theta_1) = {1 \over 2m}\sum_{i = 0}{m}(h(x) - y{(i)})2$$接着通过梯度下降的方法计算出\(minimize_{\theta_0\theta_1}J(\theta_0, \theta_1)\), 我们知道这种方法需要对进行迭代，比较麻烦，那有没有更加简单的方法呢？能不能一次迭代就可以求出我们的\(\theta_0\)和\(\theta_1\)呢？答案就是正规方程
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正规方程: \(\theta = (A^{T}A)^{-1}A^{T}y\)
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其中\(\theta\)为一个列向量, 表示我们所有的参数
\[\begin{bmatrix} \theta_0 \\ \theta_1 \end{bmatrix} \] -
A 表示输入的 x 组成的矩阵, 这里就是
\[\begin{bmatrix} 1 & x_1^{(1)} \\ 1 & x_1^{(2)} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_1^{(m)} \end{bmatrix} \]上面的矩阵的原型就是
\[\begin{bmatrix} x_0^{(1)} & x_1^{(1)} \\ x_0^{(2)} & x_1^{(2)} \\ \vdots & \vdots \\ x_0^{(m)} & x_1^{(m)} \end{bmatrix} \]从上面我们可以知道\(x_0^{(n)}\)是值为1，这里的
\[\begin{bmatrix} x_0^{(1)} \\ x_0^{(2)} \\ x_0^{(3)} \\ \vdots \\ x_0^{(m)} \end{bmatrix} \]- 就是我们自己添加上去的新的特征值，这个特征比较特殊，因为它所有的值都为0，为什么要这样做？通过观察假设函数\(h(x^{(i)}) = \theta_0 \times 1 + \theta_1x^{(i)}\)我们发现，之后\(\theta_0\)没有自变量，为了数学上的统一，于是我们对其进行修改\(h(x^{(i)}) = \theta_0x_0^{(i)} + \theta_1x_1^{(i)}\)，其中\(x_0^{(i)}\)为1。
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其中y为一个列向量，它的值为
\[\begin{bmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \\ y^{(3)} \\ \vdots \\ y^{(m)} \end{bmatrix} \]是\(x_j^{(i)}\)对象的标签值
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如果构建 A ?
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首先，在书写假设函数的时候应该安装阶数的升序书序，如\(h(x^{(i)}) = \theta_0 + \theta_1x_1^{(i)} + \theta_2{(x_1^{(i)})}^2\)或者\(h(x^{(i)}) = \theta_0 + \theta_1x_1^{(i)} + \theta_2x_2^{(i)}\)分别从方便的式子中构建 A
第一个是
\[\begin{bmatrix} 1 & x_1^{(1)} & {(x_1^{(1)})}^2 \\ 1 & x_1^{(2)} & {(x_1^{(2)})}^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_1^{(m)} & {(x_1^{(m)})}^2 \\ \end{bmatrix} \]第二个是
\[\begin{bmatrix} 1 & x_1^{(1)} & x_2^{(1)} \\ 1 & x_1^{(2)} & x_2^{(2)} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_1^{(m)} & x_2^{(m)} \\ \end{bmatrix} \]
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如果已经构建出了矩阵 A，接下来的y的构建是非常简单的，就是安装y给出的顺序构建一个列向量即可
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带入公式就可以直接求出 \(\theta\)
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正规方程的优点
- 不需要像梯度下降法一样麻烦，需要换出\(minimize_{\theta_0\theta_1}J(\theta_0, \theta_1)\)和迭代次数的图像来确定迭代的次数，除此之外还要确定出\(\alpha\)学习率的大小
- 不需要进行Feature Scaling, 也就是对数据进行标准化, 如果进行了标准化返回会降低准确度
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正规方程的缺点
- 在公式中发现这个A矩阵包含了所有的输入，如果输入量非常的大，则A矩阵就会非常大，在计算\({(A^{T}A)}^{-1}\)矩阵的维度就会增大，并且求矩阵的逆在大数据的情况下是非常消耗计算机的性能的
- 使用的范围小，只适用于线性回归，而梯度下降使用的范围要广很多
房价的Size和Price的预测-多变量
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在上两节中我们只考虑到了房子的大小和房子的关系，当然这个是不包括我们计自己添加上去的第0个特征，它们的值都为1。下面我们再添加一些特征，下面就添加 Age。
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此时我们的假设函数为\(h(x^{(i)}) = \theta_0 + \theta_1x_1^{(i)} + \theta_2x_2^{(i)}\)，其中\(x_1^{(i)}\)为size输入，\(x_2^{(i)}\)为age的输入，构建目标函数(cost function)$$J(\theta_0, \theta_1, \theta_2) = {1 \over 2m}\sum_{i = 0}{m}(h(x) - y^{(i)})$$，为了方便起见，***通常我们会将向量输入到函数中而不是一个实数，因为在编程中我们就是输入向量或者矩阵的$$J(\theta) = {1 \over 2m}\sum_{i = 0}{m}(h(x) - y^{(i)})$$其中，\(\theta\)是一个向量，它的值为$$
\begin{bmatrix}
\theta_0 \
\theta_1 \
\theta_2
\end
tmp0 := \theta_0 - \alpha \times {\partial\over\partial\theta_0}J(\theta)
tmp1 := \theta_1 - \alpha \times{\partial\over\partial\theta_1}J(\theta)
tmp2 := \theta_2 - \alpha \times{\partial\over\partial\theta_2}J(\theta)
\theta_0 := tmp0
\theta_1 := tmp1
\theta_2 := tmp2
v = {{x - avg} \over {max - min}}
$$
* v 为去均值之后的数据样本列向量
* x 为待去均值的数据样本列向量
* avg 为 x 的均值
* max 为 x 的最大值
* min 为 x 的最小值
* 还是要提的是***x是一个列向量，就是我们数据表中的一列，就是$x_j^{(i)}$中的第j个特征的所有的值***
- 举例:
* 假设我们的房价中size的范围是在(0, 3000)区间内，可想而知有10，有200， 有3000，这样数据之间的差异太大了，对我们的拟合时候影响的，如果我们使用梯度下降发进行最小化，因为数据差异大，会导致最小化的速度变慢
* 使用公式
$$
v = {{x - avg} \over {max - min}}
$$
得到的v，它所有元素的大小都在$-1 \to 1$区间内
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为什么要去均值
- 很简单，为了在使用梯度下降的方法进行最小化的时候加快速度
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执行去均值之后，我们应该保存mean和std，因为我们使用的是去均值之后的数据拟合的模型，在使用这个模型的时候，我们也要对输入进行去均值，这样拟合出来的数据才是我们需要的。
