Gradient Descent优化法

Gradient descent 又叫 steepest descent，是利用一阶的梯度信息找到函数局部最优解的一种方法，也是机器学习里面最简单最常用的一种优化方法。Gradient descent 是 line search 方法中的一种，主要迭代公式如下：

 

其中，是第 k 次迭代我们选择移动的方向，在 steepest descent 中，移动的方向设定为梯度的负方向，是第 k 次迭代用 line search 方法选择移动的距离，每次移动的距离系数可以相同，也可以不同，有时候我们也叫学习率（learning rate）。

在数学上，移动的距离可以通过 line search 令导数为零找到该方向上的最小值，但是在实际编程的过程中，这样计算的代价太大，我们一般可以将它设定位一个常量。考虑一个包含三个变量的函数，计算梯度得到。设定 learning rate = 1，算法代码如下：

# Code from Chapter 11 of Machine Learning: An Algorithmic Perspective
# by Stephen Marsland (http://seat.massey.ac.nz/personal/s.r.marsland/MLBook.html)

# Gradient Descent using steepest descent

from numpy import *

def Jacobian(x):
    return array([x[0], 0.4*x[1], 1.2*x[2]])

def steepest(x0):

    i = 0 
    iMax = 10
    x = x0
    Delta = 1
    alpha = 1

    while i<iMax and Delta>10**(-5):
        p = -Jacobian(x)
        xOld = x
        x = x + alpha*p
        Delta = sum((x-xOld)**2)
        print 'epoch', i, ':'
        print x, '\n'
        i += 1

x0 = array([-2,2,-2])
steepest(x0)

　　代码运行结果：

Steepest gradient 方法得到的是局部最优解，如果目标函数是一个凸优化问题，那么局部最优解就是全局最优解。