关于特征值和特征向量

关于特征值和特征向量，专业的说法是

1:从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称
方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。 

2:换一种说法：

特征向量反映了线性变换的方向，在这几个方向上的线性变换只导致向量的伸缩，特征值反映线性变换在这几个方向上导致伸缩的大小。

3:形象的说法：

在人群中找一个人，给定这几个向量，身高，肤色，体重，再给定几个特征值身高：180，肤色：黄，体重：70KG, 我们马上就能找到这个人，

于是我们不需要给定人所有的信息，只要这么几个特征就能找到，所以可以用来降维。

在实际的特征向量里会更复杂一些，“身高”可能是有若干个因子组成的，不是一维的。

4:几何的说法：

特征值不仅仅是数学上的一个定义或是工具，特征值是有具体含义的，是完全看得见摸得着的。

比如说一个三维矩阵，理解成线性变换，作用在一个球体上：

三个特征值决定了 对球体在三个维度上的拉伸/压缩，把球体塑造成一个橄榄球；

剩下的部分决定了这个橄榄球在三维空间里面怎么旋转。