C#数据结构与算法揭秘八
这节重点讨论 树的结构的源代码实现。
先做一铺垫，讨论一下二叉树的存储结构。二叉树的存储结构分为线性存储和链式存储等等。
1、二叉树的顺序存储结构
对于一棵完全二叉树，由性质 5可计算得到任意结点 i 的双亲结点序号、左孩子结点序号和右孩子结点序号。所以，完全二叉树的结点可按从上到下和从左到右的顺序存储在一维数组中，其结点间的关系可由性质 5计算得到，这就是二叉树的顺序存储结构。下图所示的二叉树的顺序存储结构为：
但是，对于一棵非完全二叉树，不能简单地按照从上到下和从左到右的顺序存放在一维数组中， 因为数组下标之间的关系不能反映二叉树中结点之间的逻辑关系。 所以， 应该对一棵非完全二叉树进行改造， 增加空结点 （并不存在的结点）使之成为一完全二叉树，然后顺序存储在一维数组中。下图(a)是
完全二叉树形态，下图(b)是顺序存储示意图。
显然， 顺序存储对于需增加很多空结点才能改造为一棵完全二叉树的二叉树适合，因为会造成空间的大量浪费。实际上，采用顺序存储结构，是对非线性
的数据结构线性化，用线性结构来表示二叉树的结点之间的逻辑关系，所以，需要增加空间。一般来说，有大约一半的空间被浪费。最差的情况是右单支树，如
下图所示，一棵深度为k的右单支树，只有k个结点，却需要分配 2k-1个存储单元。
二叉树的链式存储分为二叉链式存储和三叉链式存储。
二叉树的二叉链式存储：
二叉树的二叉链表存储结构是指二叉树的结点有三个域： 一个数据域和两个引用域，数据域存储数据，两个引用域分别存放其左、右孩子结点的地址。当左
孩子或右孩子不存在时，相应域为空，用符号 NULL 或∧表示。结点的存储结构如下所示：
二叉树的三叉链式存储：
使用二叉链表，可以非常方便地访问一个结点的子孙结点，但要访问祖先结点非常困难。 可以考虑在每个结点中再增加一个引用域存放其双亲结点的地址信息，这样就可以通过该引用域非常方便地访问其祖先结点。这就是下面要介绍的三叉链表。
二叉树的三叉链表存储结构是指二叉树的结点有四个域： 一个数据域和三个引用域，数据域存储数据，三个引用域分别存放其左、右孩子结点和双亲结点的地址。当左、右孩子或双亲结点不存在时，相应域为空，用符号 NULL 或∧表示。结点的存储结构如下所示：
简单的介绍了二叉树的存储结构后，我们重点看一看他的源代码的实现，这是这篇文章的重点。
二叉树的二叉链表的结点类有 3个成员字段：数据域字段 data、左孩子引用域字段 lChild和右孩子引用域字段 rChild。二叉树的二叉链表的结点类的实现如下所示。
public class Node<T>
{
private T data; //数据域
private Node<T> lChild; //左孩子
private Node<T> rChild; //右孩子 如下图所示
//构造器 赋值给相应的数据域，左孩子，右孩子。如图所示
public Node(T val, Node<T> lp, Node<T> rp)
{
data = val;
lChild = lp;
lChild = rp;
}
//构造器 赋值给相应相应的左孩子，右孩子，数据域赋值给相应的默认值 如图所示
public Node(Node<T> lp, Node<T> rp)
{
data = default(T);
lChild = lp;
rChild = rp;
}
//构造器 赋值给相应的数据域，左孩子为空，右孩子为空。如图所示
public Node(T val)
{
data = val;
lChild = null;
rChild = null;
}
//构造器 赋值给相应的 左孩子，右孩子为空，数据域为空。如图所示
public Node()
{
data = default(T);
lChild = null;
rChild = null;
}
//数据属性
public T Data
{
get
{
return data;
}
set
{
value = data;
}
}
//左孩子属性
public Node<T> LChild
{
get
{
return lChild;
}
set
{
lChild = value;
}
}
public Node<T> RChild
{
get
{
return rChild;
}
set
{
rChild = value;
}
}
}
不带头结点的二叉树的二叉链表比带头结点的二叉树的二叉链表的区别与不带头结点的单链表与带头结点的单链表的区别一样。 下面只介绍不带头结点的二叉树的二叉链表的类 BiTree<T>。BiTree<T>类只有一个成员字段 head表示头引用。以下是 BiTree<T>类的源代码实现。
public class BiTree<T>
{
private Node<T> head; //头引用 默认指向了根结点
//头引用属性
public Node<T> Head
{
get
{
return head;
}
set
{
head = value;
}
}
//构造器
public BiTree()
{
head = null;
}
//构造器
public BiTree(T val)
{
Node<T> p = new Node<T>(val);
head = p;
}
//构造器
public BiTree(T val, Node<T> lp, Node<T> rp)
{
Node<T> p = new Node<T>(val,lp,rp);
head = p;
}
//判断是否是空二叉树
public bool IsEmpty()
{
if (head == null)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
//获取根结点
public Node<T> Root()
{
return head;
}
//获取结点的左孩子结点
public Node<T> GetLChild(Node<T> p)
{
return p.LChild;
}
//获取结点的右孩子结点
public Node<T> GetRChild(Node<T> p)
{
return p.RChild;
}
//将结点p的左子树插入值为val的新结点，
//原来的左子树成为新结点的左子树
public void InsertL(T val, Node<T> p)
{
Node<T> tmp = new Node<T>(val);
tmp.LChild = p.LChild;
p.LChild = tmp;
}
//将结点p的右子树插入值为val的新结点，
//原来的右子树成为新结点的右子树
public void InsertR(T val, Node<T> p)
{
Node<T> tmp = new Node<T>(val);
tmp.RChild = p.RChild;
p.RChild = tmp;
}
算法的复杂度是O(1)
//若p非空，删除p的左子树
public Node<T> DeleteL(Node<T> p)
{
if ((p == null) || (p.LChild == null))
{
return null;
}
Node<T> tmp = p.LChild;
p.LChild = null;
return tmp;
}
算法的复杂度是O(1)
//若p非空，删除p的右子树
public Node<T> DeleteR(Node<T> p)
{
if ((p == null) || (p.RChild == null))
{
return null;
}
Node<T> tmp = p.RChild;
p.RChild = null;
return tmp;
}
算法的复杂度是O(1)
//判断是否是叶子结点
public bool IsLeaf(Node<T> p)
{
if ((p != null) && (p.LChild == null) && (p.RChild == null))
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
这些操作的具体情况如图所示：
}
由于类中基本操作都比较简单，这里不一一详细说明。
说完这些操作，我们再看看他的遍历的实现
二叉树的遍历是指按照某种顺序访问二叉树中的每个结点， 使每个结点被访问一次且仅一次。遍历是二叉树中经常要进行的一种操作，因为在实际应用中，常常要求对二叉树中某个或某些特定的结点进行处理， 这需要先查找到这个或这些结点。
实际上， 遍历是将二叉树中的结点信息由非线性排列变为某种意义上的线性排列。也就是说，遍历操作使非线性结构线性化。
由二叉树的定义可知，一棵二叉树由根结点、左子树和右子树三部分组成，若规定 D、L、R 分别代表遍历根结点、遍历左子树、遍历右子树，则二叉树的遍历方式有 6种：DLR、DRL、LDR、LRD、RDL、RLD。由于先遍历左子树和先遍历右子树在算法设计上没有本质区别，所以，只讨论三种方式：DLR（先序遍历） 、LDR（中序遍历）和 LRD（后序遍历） 。 除了这三种遍历方式外，还有一种方式：层序遍历(Level Order)。层序遍历
是从根结点开始， 按照从上到下、 从左到右的顺序依次访问每个结点一次仅一次。 由于树的定义是递归的，所以遍历算法也采用递归实现。下面分别介绍这四
种算法，并把它们作为 BiTree<T>类成员方法。
先序遍历的基本思想是：首先访问根结点，然后先序遍历其左子树，最后先序遍历其右子树。先序遍历的递归算法实现如下，注意：这里的访问根结点是把根结点的值输出到控制台上。当然，也可以对根结点作其它处理。
public void PreOrder(Node<T> root)
{
//根结点为空
if (root == null)
{
return;
}
//处理根结点
Console.WriteLine("{0}", root.Data);
//先序遍历左子树
PreOrder(root.LChild);
//先序遍历右子树
PreOrder(root.RChild);
这个算法的复杂度是O(n²) 如图所示：
}
2、中序遍历（LDR）
中序遍历的基本思想是：首先中序遍历根结点的左子树，然后访问根结点，
最后中序遍历其右子树。中序遍历的递归算法实现如下：
public void InOrder(Node<T> root)
{
//根结点为空
if (root == null)
{
return;
}
//中序遍历左子树
InOrder(root.LChild);
//处理根结点
Console.WriteLine("{0}", root.Data);
//中序遍历右子树
InOrder(root.RChild);
算法的复杂度是O(n²) 如图所示：
}
3、后序遍历（LRD）
后序遍历的基本思想是：首先后序遍历根结点的左子树，然后后序遍历根结
点的右子树，最后访问根结点。后序遍历的递归算法实现如下，
public void PostOrder(Node<T> root)
{
//根结点为空
if (root == null)
{
return;
}
//后序遍历左子树
PostOrder(root.LChild);
//后序遍历右子树
PostOrder(root.RChild);
//处理根结点
Console.WriteLine("{0}", root.Data);
算法的复杂度是O(n²)。如图所示：
}
4、层序遍历（Level Order）
层序遍历的基本思想是：由于层序遍历结点的顺序是先遇到的结点先访问，与队列操作的顺序相同。所以，在进行层序遍历时，设置一个队列,将根结点引用入队，当队列非空时，循环执行以下三步：
（1） 从队列中取出一个结点引用，并访问该结点；
（2） 若该结点的左子树非空，将该结点的左子树引用入队；
（3） 若该结点的右子树非空，将该结点的右子树引用入队；
层序遍历的算法实现如下：
public void LevelOrder(Node<T> root)
{
//根结点为空
if (root == null)
{
return;
}
//设置一个队列保存层序遍历的结点
CSeqQueue<Node<T>> sq = new CSeqQueue<Node<T>>(50);
//根结点入队
sq.In(root);
//队列非空，结点没有处理完
while (!sq.IsEmpty())
{
//结点出队
Node<T> tmp = sq.Out();
//处理当前结点
Console.WriteLine("{o}", tmp);
//将当前结点的左孩子结点入队
if (tmp.LChild != null)
{
sq.In(tmp.LChild);
}
if (tmp.RChild != null)
{
sq.In(tmp.RChild);
}
}
算法的复杂度是O(n²) 如图所示：
}
这篇文章，我们介绍了二叉树的源代码的实现，一些基本的常识已经介绍完成了。我们下届还补充一些树案例，更好的利用树的作用。
