辗转相除法求最大公约数

辗转相除法,其基本原理如下:

要求两个正整数a和b（假设a大于b）的最大公约数，可以将a表示成下面的式子

a = q*b + r                                     (1)

其中，q表示a除以b所得的商，r表示余数。

则有 r = a – q*b                               (2)

假设k为a，b的公因子，不妨设a=m*k，b=n*k；则（2）式可表示成

r = mk – q*n*k = (m – q*n)*k           (3)

由（3）式可以看出，k也是r的因子。

得出结论：如果一个数能够同时整除a和b，则必能同时整除b和r；反过来，一个数如果能同时整除b和r，也必能同时整除a和b。即a和b的公约数与b和r的公约数是相同的，其最大公约数也是相同。

即gcd(a,b) = gcd(b,r)；

C语言的实现为：

/*辗转相除法求m，n(m > n)的最大公约数*/
int gcd(int m,int n){
    if(n == 0)
        return m;
    return gcd(n,m % n);
}

/*辗转相除法求m，n(m > n)的最大公约数*/

int gcd(int m,int n){

    if(n == 0)

        return m;

    return gcd(n,m % n);

}

/*辗转相除法求m，n(m > n)的最大公约数*/
int gcd(int m,int n){
    if(n == 0)
        return m;
    return gcd(n,m % n);
}

另外，求出两个数的最大公约数之后，最小公倍数就可以求出：

最小公倍数 = 两个数的乘积/两个数的最大公约数，即

最小公倍数 = m*n / gcd(m,n);