关于最大匹配，最小点覆盖，最少路径覆盖和最大独立集的总结
(1)二分图的最大匹配
匈牙利算法
(2)二分图的最小点覆盖
二分图的最小点覆盖=二分图的最大匹配
求最小点覆盖：从右边所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求DFS。最终右边没有访问过的点和左边访问过的点组成最小点覆盖。
证明见这里
(3)二分图的最少边覆盖
二分图的最少边覆盖=点数-二分图的最大匹配
证明：
先贪心选一组最大匹配的边放进集合，对于剩下的没有匹配的点，随便选一条与之关联的边放进集合，那么得到的集合就是最小边覆盖。
所以有：最小边覆盖=最大匹配+点数-2*最大匹配=点数-最大匹配
(4)二分图的最大独立集
二分图的最大独立集=点数-二分图的最大匹配
证明：
我们可以这样想，先把所有的点放进集合，然后删去最少的点和与之相关联的边，使得全部边都被删完，这就是最小点覆盖。所以有：最大独立集=点数-最小点覆盖
(5)有向无环图的最少不相交路径覆盖
我们把原图中的点$V$拆成两个点$Vx$和$Vy$，对于原图中的边$A->B$，我们在新图中连$Ax->By$。那么最少不相交路径覆盖=原图的点数-新图的最大匹配
证明：
一开始每个点都独立为一条路径，在二分图中连边就是将路径合并，每连一条边路径数就减一。因为路径不能相交，所以不能有公共点，这恰好就是匹配的定义。所以有：最少不相交路径覆盖=原图的点数-新图的最大匹配
友情题：
(6)有向无环图的最少可相交路径覆盖
先用floyd求出原图的传递闭包， 如果a到b有路， 那么就加边a->b。 然后就转化成了最少不相交路径覆盖问题。
(7)有向无环图中最少不相交路径覆盖和最大独立集的相互转化
用偏序集，一般可以抽象为有向无环图。建议先看看这篇博客
Dilworth定理：有向无环图的最大独立集=有向无环图最少不相交路径覆盖
友情题
裸的偏序集。
注意要去重，因为要保证是有向无环图。
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<fstream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<queue> #include<stack> #include<map> #include<utility> #include<set> #include<bitset> #include<vector> #include<functional> #include<deque> #include<cctype> #include<climits> #include<complex> //#include<bits/stdc++.h>适用于CF,UOJ，但不适用于poj using namespace std; typedef long long LL; typedef double DB; typedef pair<int,int> PII; typedef complex<DB> CP; #define mmst(a,v) memset(a,v,sizeof(a)) #define mmcy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a)) #define fill(a,l,r,v) fill(a+l,a+r+1,v) #define re(i,a,b) for(i=(a);i<=(b);i++) #define red(i,a,b) for(i=(a);i>=(b);i--) #define ire(i,x) for(typedef(x.begin()) i=x.begin();i!=x.end();i++) #define fi first #define se second #define m_p(a,b) make_pair(a,b) #define p_b(a) push_back(a) #define SF scanf #define PF printf #define two(k) (1<<(k)) template<class T>inline T sqr(T x){return x*x;} template<class T>inline void upmin(T &t,T tmp){if(t>tmp)t=tmp;} template<class T>inline void upmax(T &t,T tmp){if(t<tmp)t=tmp;} inline int sgn(DB x){if(abs(x)<1e-9)return 0;return(x>0)?1:-1;} const DB Pi=acos(-1.0); int gint() { int res=0;bool neg=0;char z; for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar()); if(z==EOF)return 0; if(z=='-'){neg=1;z=getchar();} for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar()); return (neg)?-res:res; } LL gll() { LL res=0;bool neg=0;char z; for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar()); if(z==EOF)return 0; if(z=='-'){neg=1;z=getchar();} for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar()); return (neg)?-res:res; } const int maxn=1000; int n; LL a[maxn+10]; int now,info[maxn+10]; struct Tedge{int v,next;}edge[maxn*maxn+100]; void addedge(int u,int v){now++;edge[now].v=v;edge[now].next=info[u];info[u]=now;} int vis[maxn+10],match[maxn+10]; int ans; int find(int u) { for(int i=info[u],v=edge[i].v;i!=-1;i=edge[i].next,v=edge[i].v) if(!vis[v]) { vis[v]=1; if(match[v]==-1 || find(match[v])) { match[v]=u; return 1; } } return 0; } int main() { freopen("hdu3335.in","r",stdin); freopen("hdu3335.out","w",stdout); int i,j; for(int Case=gint();Case;Case--) { n=gint(); re(i,1,n)a[i]=gll(); sort(a+1,a+n+1); n=unique(a+1,a+n+1)-a-1; now=-1;mmst(info,-1); re(i,1,n)re(j,1,n)if(i!=j && a[i]%a[j]==0)addedge(i,j); ans=0; mmst(match,-1); re(i,1,n){mmst(vis,0);ans+=find(i);} cout<<n-ans<<endl; } return 0; }
我们把木棍$i$看成一个二元组$(L_i,W_i)$
定义偏序关系$(L_i,W_i)\leq (L_j,W_j)\Leftrightarrow L_i\leq L_j 且 W_i\leq W_j$
我们先构建一个有向无环图。
我们求的就是最少不相交路径覆盖。
考虑一个独立集，我们发现有以下的性质：
（1）对于$(L_i,W_i)$和$(L_j,W_j)$，$L_i$一定不等于$L_j$，$W_i$一定不等于$W_j$；
（2）如果按$L$严格递增排序，那么$W$一定严格递减。
很好，我们首先将所有的二元组$(L,W)$按$L$从小到大排序，如果$L$相同，那么按$W$从小到大排序。
那么一个独立集等价于一个严格递减子序列；一条路径等价于一个非严格递增子序列。
根据Dilworth定理，有2种方法：
（1）求最大独立集，即求最长严格递减子序列,用DP可以在$O(N^2)$内完成，优化一下还能做到$O(Nlog_{2}N)$。
（2）直接求最少不相交路径覆盖，即至少用多少个非严格递增子序列能覆盖完原序列，用贪心可以在$O(N^2)$内完成，优化一下还能做到$O(Nlog_{2}N)$。
根据Dilworth定理，这两种方法都是对的。
我的程序是用直接求最少不相交路径覆盖：
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<fstream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<queue> #include<stack> #include<map> #include<utility> #include<set> #include<bitset> #include<vector> #include<functional> #include<deque> #include<cctype> #include<climits> #include<complex> //#include<bits/stdc++.h>适用于CF,UOJ，但不适用于poj using namespace std; typedef long long LL; typedef double DB; typedef pair<int,int> PII; typedef complex<DB> CP; #define mmst(a,v) memset(a,v,sizeof(a)) #define mmcy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a)) #define fill(a,l,r,v) fill(a+l,a+r+1,v) #define re(i,a,b) for(i=(a);i<=(b);i++) #define red(i,a,b) for(i=(a);i>=(b);i--) #define ire(i,x) for(typedef(x.begin()) i=x.begin();i!=x.end();i++) #define fi first #define se second #define m_p(a,b) make_pair(a,b) #define p_b(a) push_back(a) #define SF scanf #define PF printf #define two(k) (1<<(k)) template<class T>inline T sqr(T x){return x*x;} template<class T>inline void upmin(T &t,T tmp){if(t>tmp)t=tmp;} template<class T>inline void upmax(T &t,T tmp){if(t<tmp)t=tmp;} inline int sgn(DB x){if(abs(x)<1e-9)return 0;return(x>0)?1:-1;} const DB Pi=acos(-1.0); int gint() { int res=0;bool neg=0;char z; for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar()); if(z==EOF)return 0; if(z=='-'){neg=1;z=getchar();} for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar()); return (neg)?-res:res; } LL gll() { LL res=0;bool neg=0;char z; for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar()); if(z==EOF)return 0; if(z=='-'){neg=1;z=getchar();} for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar()); return (neg)?-res:res; } const int maxn=5000; bool cmp(PII a,PII b){return (a.fi==b.fi)?a.se<b.se:a.fi<b.fi;} int n; PII d[maxn+100]; int t[maxn+100]; int main() { freopen("poj1065.in","r",stdin); freopen("poj1065.out","w",stdout); int i,j; for(int Case=gint();Case;Case--) { n=gint(); re(i,1,n)d[i].fi=gint(),d[i].se=gint(); sort(d+1,d+n+1,cmp); int num=0; re(i,1,n) { int flag=0; re(j,1,num)if(d[i].se>=t[j]){t[j]=d[i].se;flag=1;break;} if(!flag)t[++num]=d[i].se; } cout<<num<<endl; } return 0; }
(8)二分图的带权最大匹配
KM算法。
