全错位排列

全错位排列是由著名数学家欧拉提出的。

最典型的问题是装错信封问题

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

用a、b、c，d……表示n份相应的写好的信纸，A、B、C，D……表示写着n位友人名字的信封，错装的总数为记作f(n)。

假设把a错装进B中，然后接下来我们可以分为两种情况，

第一种是b错装进了A中，那么问题就变为c,d,e…..n-2个信纸放入C，D,E……n-2个信封时完全放错时完全装错有多少种，有f(n-2)种

第二种是b错装进了除A之外的一个信封内，这个时候问题就相当于已知a错装进B中，将b,c,d,e…..n-2个信纸放入A,C，D,E……n-2个信封时,b不能放入A中，这里如果我们把A

想象成B₀的话，就相当于将b,c,d,e…..n-2个信纸放入B₀,C，D,E……n-2个信封时完全放错，有f(n-1)种

a错装进B中，有f(n-1)+f(n-2)种，同样a错装进C中也有f(n-1)+f(n-2)种…..

a错装进B中，有f(n-1)+f(n-2)种

a错装进C中，有f(n-1)+f(n-2)种

a错装进D中，有f(n-1)+f(n-2)种

a错装进E中，有f(n-1)+f(n-2)种

a错装进F中，有f(n-1)+f(n-2)种

…

所以一共有

f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2));

 

//C++示例代码
#include <iostream>
using namespace std;

long long getvalue(int num)
{
    if (num == 1)
    {
        return 0;
    }
    else if (num == 2)
    {
        return 1;
    }
    else if (num == 3)
    {
        return 2;
    }
    else
    {
        long long f1 = 1;
        long long f2 = 2;
        for (int i = 4; i <= num; i++)
        {
            long long t = f2;
            f2 = (i - 1)*(f1 + f2);
            f1 = t;
        }
        return f2;
    }
}

int main()
{
    int num;
    cout << "input the number of envelop with -1 to end" << endl;
    while (cin>>num)
    {
        if (num == -1)
            break;
        long long r = getvalue(num);
        cout<<"Result:" << r << endl;
    }
    return 0;
}

 

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