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证明：必要性.若存在$X$上的连续线性泛函$f$满足条件，则\begin{align*}\left| {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{\alpha _\upsilon }} } \right| &= \left| {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }f\left( {{x_\upsilon }} \right)} } \right| = \left| {f\left( {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{x_\upsilon }} } \right)} \right|\\
&\le \left\| f \right\| \cdot \left\| {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{x_\upsilon }} } \right\| \le M\left\| {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{x_\upsilon }} } \right\|
\end{align*}

充分性.若对任意数，有$\left| {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{\alpha _\upsilon }} } \right| \le M\left\| {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{x_\upsilon }} } \right\|$

令$M = span\left\{ {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_k}} \right\}$，则$M$为赋范线性空间$X$的子空间.对任意$\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{x_\upsilon }} \in M$，定义$M$上的线性泛函$f_0$：\[{f_0}\left( {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{x_\upsilon }} } \right) = \sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{\alpha _\upsilon }} \]由于\[\left| {{f_0}\left( {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{x_\upsilon }} } \right)} \right| = \left| {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{\alpha _\upsilon }} } \right| \le M\left\| {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{x_\upsilon }} } \right\|\]则$\left\| {{f_0}} \right\| \le M$，即$f_0$为$M$上的连续线性泛函，于是由$\bf{Hahn-Banach}$泛函延拓定理知，存在$X$上的连续线性泛函$f$，使得当$x \in M$时，有$f\left( x \right) = {f_0}\left( x \right)$，且${\left\| f \right\|_X} = {\left\| {{f_0}} \right\|_M}$，所以充分性得证