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证明：由矩阵$A$各特征值互异知，存在可逆阵$R$，使得
\[{R^{ - 1}}AR = diag\left( {{\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _n}} \right)\]
其中${{\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _n}}$为$A$互异的特征值

由$AB=BA$知，${R^{ - 1}}AR \cdot {R^{ - 1}}BR = {R^{ - 1}}BR \cdot {R^{ - 1}}AR$，从而可知
\[{R^{ - 1}}BR = diag\left( {{\mu _1}, \cdots ,{\mu _n}} \right)\]
即$A,B$可同时相似对角化