BZOJ1597 & 洛谷2900：[USACO2008 MAR]Land Acquisition 土地购买——题解

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1597

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2900

约翰准备扩大他的农场，眼前他正在考虑购买N块长方形的土地。如果约翰单买一块土 地，价格就是土地的面积。但他可以选择并购一组土地，并购的价格为这些土地中最大的长 乘以最大的宽。比如约翰并购一块3 × 5和一块5 × 3的土地，他只需要支付5 × 5 = 25元， 比单买合算。 约翰希望买下所有的土地。他发现，将这些土地分成不同的小组来并购可以节省经费。 给定每份土地的尺寸，请你帮助他计算购买所有土地所需的最小费用。

为了写模拟赛的代码现学了斜率优化。

我们显然对于所有的土地按照长宽为第一、第二关键字降序排序，这样的话我们发现对于一块土地，要么它和它前面的土地捆绑买，要么和它后面的土地捆绑买，除此之外的买法显然不优。

那这样我们显然有一个O(n^2)的转移，接下来我们考虑优化。

我们要想优化dp，显然要有单调性，考虑到当一块土地的l和w都小于其它一些土地时它只能被捆绑买且对答案没有贡献，那么我们就可以删掉这些点。

那么剩下的点显然满足l单调降w单调升，于是先列出转移方程f[i]=min(f[k]+l[k+1]*w[i])。

考虑当k<j<i时，如果f[k]+l[k+1]*w[i]>f[j]+l[j+1]*w[i]，那么显然j的状态是更优的，我们就可以把小的k踢出去。

将该式子可化为g[k,j]=(f[k]-f[j])/(l[j+1]-l[k+1])>w[i]，于是我们有了一种判断当前状态是否需要被踢出的方法。

那么我们开一个单调队列，它的头就可以用这个方式维护。

至于它的尾，考虑当k<j<i时我们可以通过g[k,j]<g[j,i]来踢出j。

为什么？考虑如果g[j,i]>w我们就可以把j踢出。

如果g[k,j]<g[j,i]<w时那么显然k比j优，所以我们还可以把j踢出。

于是我们就能处理尾部了。

那么剩下的就很显然了，只有头指针代表的元素才是最优的，那么只从头处转移即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=50010;
inline int read(){
    int X=0,w=1;char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')X=(X<<1)+(X<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return X*w;
}
struct buy{
    ll l,w;
}a[N],b[N];
bool cmp(buy a,buy b){
    return a.l>b.l||(a.l==b.l&&a.w>b.w);
}
int n,cnt,l,r,maxw;
ll f[N],q[N];
inline double suan(int j,int k){
    return 1.0*(f[j]-f[k])/(b[k+1].l-b[j+1].l);
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].l=read(),a[i].w=read();
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i].w>maxw){
            maxw=a[i].w;
            b[++cnt]=a[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        while(l<r&&suan(q[l],q[l+1])<(double)b[i].w)l++;
        f[i]=f[q[l]]+b[q[l]+1].l*b[i].w;
        while(l<r&&suan(q[r],i)<suan(q[r-1],q[r]))r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[cnt]);
    return 0;
}

 

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