BZOJ3143：[HNOI2013]游走——题解

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3143

Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。 
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。 
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

Sample Input

3 3
2 3
1 2
1 3

Sample Output

3.333

参考http://blog.csdn.net/vmurder/article/details/44542575

期望不会啊怎么办……

首先我们很容易想到一个贪心：将所有的边走过的期望求出，大期望配小编号即可。

那么求边的期望w，它的左右端点为u和v，度分别为d[u]，d[v]，走过点的期望为x[u]，x[v]，那么显然：

w=x[u]/d[u]+x[v]/d[v]。

现在变成了求x，显然就是与它相邻的点的（期望/度数）之和。

但是x1显然需要在原有的基础上+1（因为从该点出发必然经过一次）

xn显然是0（虽然是有且仅有一次会进去，所以理论上应当为1，但是一旦进去就出不来了，对于所有其他的运算来说xn即为0，那我们更新的时候直接把他当做0走即可）

剩下的就是高斯消元了。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef double dl;
const int N=505;
const int M=N*N;
int u[M],v[M],d[N];
dl f[N][N],x[N],w[M];
inline void Gauss(int n,int m){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int l=i;
        for(int j=l+1;j<=n;j++)
            if(fabs(f[l][i])<fabs(f[j][i]))l=j;
        if(l!=i)
            for(int j=i;j<=m;j++)
                swap(f[l][j],f[i][j]);
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            dl temp=f[j][i]/f[i][i];
            for(int k=i;k<=m;k++)
                f[j][k]=f[j][k]-f[i][k]*temp;
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        dl t=f[i][m];
        for(int j=n;j>i;j--)
            t-=x[j]*f[i][j];
        x[i]=t/f[i][i];
    }
    return ;
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&u[i],&v[i]);
        d[u[i]]++;d[v[i]]++;
    }
    for(int i=1;i<n;i++)f[i][i]=-1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        f[u[i]][v[i]]+=1.0/d[v[i]];
        f[v[i]][u[i]]+=1.0/d[u[i]];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)f[n][i]=0;
    f[1][n+1]=-1,f[n][n]=1;
    Gauss(n,n+1);
    for(int i=1;i<=m;i++)w[i]=x[u[i]]/d[u[i]]+x[v[i]]/d[v[i]];
    sort(w+1,w+m+1);
    dl ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)ans+=(m-i+1)*w[i];
    printf("%.3f\n",ans);
    return 0;
}