特征值与特征向量
一 定义
假设矩阵A为n*n方阵，x为n*1向量，则y=Ax表示矩阵A对向量x的线性变换结果，由于A为n*n方阵，则y为n*1向量。对大多数x进行线性变换，得到向量y与原向量x一般都不共线，只有少数向量x满足 
，其中 
被称为矩阵A的特征值，x 被称为矩阵A的特征向量。
为了求解特征值 
与特征向量 x, 对上式改写为 
，则特征向量在 
零空间中，通过选取一定特征值使得矩阵 
为奇异矩阵，即 
。根据矩阵行列式计算公式，得到关于 
的n次方程，然后根据计算出的特征值，通过寻找矩阵 
的零空间计算特征向量。
在求解特征值时，有两个定理可以简化计算：
1）
，矩阵A的特征值之和等于矩阵A的迹；
2）
，矩阵A的特征值之积等于矩阵A的行列式值；
以 2 * 2 矩阵为例，给出以上结论的大致解释：
，
，
，
由于 
，上式改写为 
，
解得 
， 
，
故 
，
。
在求解 
时，可能出现特征值 
重复情况，这可能导致特征向量 x 不足，这样后面的分析也无法继续。特征值重复并不一定导致特征向量不足，如单位矩阵I，虽然其特征值都为1，但有n个不同的特征向量。
针对各个元素均为实数2*2情况，其特征值可能出现负数，如矩阵 
特征值为 i 和 -i。通过观察，如果矩阵A为对称矩阵，其特征值为实数；如果矩阵A为反对称矩阵，其特征值为一对共轭虚数。
也就是说矩阵越接近对称矩阵，其特征值越有可能为实数。
二 矩阵对角化
假设矩阵A为n*n方阵，矩阵A有n个线性独立的特征向量 
，构成特征向量矩阵
，其对应的特征值为 
，构成特征值矩阵
，则矩阵A可被对角化分解，其公式为：
，推导如下：
，
。
如果已知
，则有 
，这表明矩阵 
的特征值为矩阵A的对应特征值的平方，矩阵 
与矩阵A有相同的特征向量。以上推导也可以通过矩阵对角化公式得到：
。
针对A的任意整数次幂，可对角化为：
，这就提供了一个计算 
的方法。
如果矩阵A可逆，则有：
，其逆矩阵与原矩阵有相同的特征向量和互为倒数的特征值。
三 应用（差分方程与微分方程）
1 复利
假设银行年利率为 .06，投资 1000 元后 5 年的收益为多少？
建立差分方程 
，为了与后面的微分方程相比较，可将其改写为 
，
，
；
如果按月计算复利，则有 
;
如果按天计算复利，则有 
;
如果按无限小时间计算复利，则有 
，
由于 
，
；
可将差分方程 改写为无限小距离间的差分为 
，
，
；
以上 ， 分别为复利的差分与微分方程。
2 Fibonacci序列
Fibonacci定义为：
，该表达式为二阶差分，可通过一些技巧变换为一阶差分：
，
。
已知
，可推导出 
。如果矩阵A可对角化，对 
可做如下变换：
，将 
详细代入，则有 
，令 
，则 
，表明 
由特征向量S按系数向量c线性组合得到。
最终可被表示为：
。
通过以上推导，如果仅需要计算某个特定的 
值，仅需使用公式 
即可。使用 
线性组合关系，可以通过特征值取值范围判断k趋近无穷大时其收敛状态；当所有特征值均满足
，
趋近稳定状态，可表示为：
（假设 
）或者 
（假设所有特征值绝对值都小于1）。
针对矩阵
，计算特征值为 
，
，特征向量为 
，
。根据以上分析，当k逐渐变大时，有：
。
3 Markov矩阵
Markov矩阵定义如下：
1）矩阵所有元素均满足 
；
2）矩阵每列元素和等于1；
Markov矩阵具有如下性质：
1）
为Markov矩阵的一个特征值；
2）
对应的特征向量 
各个元素都为非负值；
3）其他特征值满足 
；
4）Markov矩阵的幂级数稳定状态为：
。
给出一个具体的Markov矩阵 
，假设 
是该矩阵的一个特征值，则有 
，观察矩阵 
为奇异矩阵，
处于矩阵 
的零空间，则证明 
为Markov矩阵的一个特征值。
4 微分方程
标量常微分方程：
，求解如下：
，
，
，
；
已知 u(0)，
。
对于矢量常微分方程 
，已知 u(0)，其解为 
，其中 A 为 n * n 矩阵，u(t)，u(0) 为 n * 1 向量；
这里需要关注 
的含义：
对于实数 a, 有 
，
对于矩阵 A，有 
,
带入 
得 
，
，以 2 * 2 矩阵为例，
可分解为：
，将各个矩阵相加得：
，
将 u(0) 分解为特征向量得线性组合 
，
，
，
以上推导出常微分方程的解，其解为每个特征向量的线性组合，与差分方程解 
类似。
矢量常微分方程：
，矩阵A特征值与特征向量为：
；
类比标量常微分方程，其解表达为： 
，将解整理：
，
，
，
，
。
观察以上微分方程解，当所有特征值均满足 
，u(t)收敛；当 
，u(t)发散。
参考资料：Linear Algebra And Its Applicaions Gilbert Strang
